f(x)|-|fs(x)≤|f(x)-f(x)|<1 →|f(x)<1+|f(x)|≤1+Mx==G.即函数∫(x)在数集 D上有界 (次证{fn(x)}在数集D上一致有界)n>N时,对vx∈D,有 f(x)|-|f(x)|≤|fn(x)-f(x)1,→1fn(x)|≤G+1 取M=max{M1,M2,…,Mn,G+1},易见对x∈D和Vn有 lfn(x)|≤M.即函数列{f(x)}在数集D上一致有界 例7设{n(x)}为定义在区间[a,b]上的函数列,且对每个n,函数 fn(x)在点a右连续,但数列{J(a)}发散.试证明:对 Vd>0(d<b-a),函数列{fn(x)}在区间(a,a+6)内都不一致 收敛 证反设彐δ>0,使{fn(x)}在区间(a,a+)内一致收敛.则对 VE>0,彐N,Vn>N,Vp∈N,有 1fm1(x)-fmn(x)<对Vx∈(a,a+)成立 fmi(a)-fnp(a)l= lim In(x)-fnn(x)1s3<8. =If,(a) 为 Cauchy列,即{fn(a)}收敛.与已知条件矛盾 五、一致收敛函数列和函数项级数的性质(4时) 致收敛函数列极限函数的解析性质
| xf )( | |)(| 0 xf − N ≤ | xf )( 1 |)( 0 − N xf < , ⇒ | |< . 即函数 在数集 上有界. xf )( 1+ GMxf Def N N ===+≤ 0 0 1 |)(| xf )( D ( 次证{ n xf )( }在数集 D上一致有界 ) > Nn 时, 对∀x ∈ D,有 | xf )( |―| | n xf )( ≤| ―xf )( |<1, | | n xf )( ⇒ xf )( n ≤ G +1. 取 M = 21 " n GMMM + }, 1 , , , , max{ 易见对 ∀x ∈ D 和 ∀ n 有 | | xf )( n ≤ M . 即函数列{ xf )( }在数集 上一致有界 . n D 例 7 设{ }为定义在区间 上的函数列, 且对每个 , 函数 在 点 右 连 续 , 但 数 列 { } 发 散 . 试 证 明 : 对 xf )( n ba ] , [ n xf )( n a af )( n δ ( 0 δ −<>∀ ab ), 函数列{ n xf )( }在区间 aa + δ ) , ( 内都不一致 收敛. 证 反设 δ >∃ 0 , 使{ n xf )( }在区间 aa + δ ) , ( 内一致收敛. 则对 ε >∀∃>∀ ∀ , , , 0 pNnN ∈ N , 有 2 |)()(| 1 ε n+ + pn xfxf <− 对∀x ∈ aa + δ ) , ( 成立. + + → + − = ax n pn afaf lim |)()(| 1 ε ε + + <≤− 2 |)()(| 1 xfxf n pn . { } 为 Cauchy 列,即{ }收敛. 与已知条件矛盾. ⇒ af )( n af )( n 五、一致收敛函数列和函数项级数的性质（ 4 时 ） 165 （一.） 一致收敛函数列极限函数的解析性质:
1.连续性: Th1设在D上二∫(x),且对n,函数fn(x)在D上连续 ∫(x)在D上连续 证(要证:对x∈D,∫(x)在点x0连续.即证:对vE>0, 彐6>0,当|x-x0k时,→|f(x)-f(x0)kE.) f(x)-f(x0)s|f(x)-f(x)|+|fn(x)-fn(x0)+|fn(x0)-f(x0) 估计上式右端三项.由一致收敛,第一、三两项可以任意小;而由函数 fn(x)在点x连续,第二项|fn(x)-fn(x0)也可以任意小 系设在D上∫n(x)→>f(x).若f(x)在D上间断,则函数列{fn(x)} 在D上一致收敛和所有fn(x)在D上连续不能同时成 註Th表明:对于各项都连续且一致收敛的函数列{fn(x)},有 lim lim f, (x)=limlim f (x) 即极限次序可换 2.可积性 Th2若在区间[a,b]上函数列{fn(x)}一致收敛,且每个∫n(x)在 ab]连线则有(m()k=lm广/(x 证设在[a,b]上f二f(x),由Th1,函数∫(x)在区间[a,b]上 连续因此可积我们要证m[(x)女=(x)注意到
1． 连续性: Th 1 设在 D 上 ,且对 ,函数 在 上连续 , 在 上连续. n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ xf )( ∀ n xf )( n D ⇒ xf )( D 证 ( 要证 : 对 ∀x0 ∈ D , xf )( 在点 x0 连续 . 即证: 对 ∀ε > 0 , δ >∃ 0 , 当| − xx 0 |< δ 时, ⇒ − |)()(| < ε 0 xfxf . ) |)()(||)()(||)()(| |)()(| 0 0 0 0 xfxfxfxfxfxfxfxf ≤− − n + n − n + n − 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数 n xf )( 在点 连续, 第二项 0 x |)()(| 0 xfxf n − n 也可以任意小 . …… 系 设在D上 . 若 在 上间断 ，则函数列{ } 在 上一致收敛和所有 在 D上连续不能同时成立. xf )( n → xf )( xf )( D xf )( n D xf )( n 註 Th1 表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{ xf )( }, 有 n )(limlim)(limlim0 0 xf xf n xxn n nxx ∞→→ →∞→ = . 即极限次序可换 . 2. 可积性: Th 2 若在区间 上函数列{ }一致收敛 , 且每个 在 上连续. 则有 ba ] , [ xf )( n xf )( n ba ] , [ ( ) ∫ ∫ ∞→ ∞→ = a a n n n n )(lim)(lim dxxfdxxf b b b b . 证 设在 上 , 由 Th1, 函数 在区间 上 连续,因此可积. 我们要证 . 注意到 ba ] , [ n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ xf )( xf )( ba ] , [ ∫ ∫ = ∞→ a a n n )()(lim dxxfdxxf 166