∑一致收敛;而在区间(-1,1)内,取xn="∈(-11),有 sup Sm, (x)-s(x)sup →∑非一致收敛.。(亦可由通项n(x)=x”在区间(-1,1)内非 致收敛于零,→∑非一致收敛 几何级数∑x“虽然在区间(1,1)内非一致收敛,但在包含于 (-1,1)内的任何闭区间上却一致收敛·我们称这种情况为“闭一致收 敛”.因此,我们说几何级数∑x在区间(-1,1)内闭一致收敛 四、函数项级数一致收敛判别法 1.M-判别法: Th4( Weierstrass判别法)设级数∑un(x)定义在区间D上, ∑M,是收敛的正项级数.若当n充分大时,对Wx∈D有 un(x)|sMn,则∑在D上一致收敛 x)s∑un(x)s∑Mn=∑Mm,然后用 Cauchy准则 亦称此判别法为优级数判别法称满足该定理条件的正项级数∑Mn 是级数∑u1(x)的一个优级数.于是Th4可以叙述为:若级数 ∑un(x)在区间D上存在优级数,则级数∑n(x)在区间D上一致收 斂·应用时,常可试取Mn=sp{un(x)}但应注意,级数∑un(x)
∑ 一致收敛 ; 而在区间 − ) 1 , 1( 内 , 取 ∈ + = n 1 n xn − ) 1 , 1( , 有 ⎟ ∞→ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ − =− − − − 1 )1,1( )1,1( 1 1 1 1 1 sup|)()(|sup n n n n n n n n n n n x x xSxS ⇒ ∑ 非一致收敛. ( 亦可由通项 在区间 n n )( = xxu − ) 1 , 1( 内非 一致收敛于零,⇒ ∑ 非一致收敛.) 几何级数 虽然在区间 内非一致收敛 , 但在包含于 内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收 敛”. 因此 , 我们说几何级数 在区间 ∑ ∞ n=0 n x − ) 1 , 1( − ) 1 , 1( ∑ ∞ n=0 n x − ) 1 , 1( 内闭一致收敛 . 四、 函数项级数一致收敛判别法: 1．M - 判别法: Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数 定义在区间 D 上, 是收敛的正项级数.若当 充 分 大 时 , 对 ∑ xu )( n ∑ M n n ∀x ∈ D 有 | n n xu |)( ≤ M , 则∑ 在 D 上一致收敛 . 证 , |)(| )( 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∑ = = + = + + = + ≤ =≤ p i p i in p i in in p i in Mxuxu M 然后用 Cauchy 准则. 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数 ∑ M n 是级数 的一个优级数. 于是 Th 4 可以叙述为 : 若级数 在区间 D 上存在优级数 , 则级数 ∑ xu )( n ∑ xu )( n ∑ xu )( n 在区间 D 上一致收 敛 . 应用时, 常可试取 M n xu |})({|sup Dx n ∈ = .但应注意, 级数∑ xu )( n 160
在区间D上不存在优级数,级数∑u1(x)在区间D上非一致收敛 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别 例12判断函数项级数 coS nx 和 在R内的一致收敛性 例13设un(x)(n=1,2,…)是区间[a,b]上的单调函数,试证明: 若级数∑un(a)与∑un(b)都绝对收敛,则级数∑un(x)在区间 [a,b]上绝对并一致收敛.简证,留为作业 u,(x)slu, (a)1+u, (b)... 2.Abel判别法 Th5设i>级数∑un(x)在区间I上收敛;i>对每个x∈I,数 列{vn(x)}单调;i)函数列{vn(x)}在I上一致有界,即彐M>0 使对Wx∈I和Ⅶn,有v(x)|M.则级数∑un(x)n(x)在区 间I上一致收敛 3. Dirichlet判别法 Th6设1>级数∑u1(x)的部分和函数列U2(x)=∑u4(x)在区间 I上一致有界;ⅱ〉对于每一个x∈I,数列{vn(x)}单调;ⅲ)在 区间1上函数列{n(x)一致收敛于零.则级数∑un(x),(x)在区 间I上一致收敛 例14判断函数项级数S(-1)"(x+n) 在区间[0,1]上的一致收敛性 解记n()=(=1,,()=(1+2).则有1)级数∑()收 敛:i>对每个x∈[0,1,n,(x):i>1n(x)=(1+x)≤e
在区间 D 上不存在优级数 , ⇒/ 级数∑ xu )( 在区间 D 上非一致收敛. n 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别. 例 12 判断函数项级数∑ ∞ =in n nx 2 sin 和∑ ∞ =in n nx 2 cos 在 R 内的一致收敛性 . 例 13 设 nxu = ") , 2 , 1 ( )( n 是区间 上的单调函数. 试证明 : 若级数 与 ba ] , [ ∑ au )( n ∑ bu )( n 都绝对收敛, 则级数 ∑ xu )( n 在区间 上绝对并一致收敛 .简证 , 留 为 作 业 . .…… ba ] , [ buauxu |)(||)(| |)(| n n +≤ n 2. Abel 判别法: Th 5 设 ⅰ> 级数∑ xu )( n 在区间I 上收敛; ⅱ> 对每个 x∈ I , 数 列 n xv )}({ 单调 ; ⅲ> 函数列{ n (xv )}在 I 上一致有界, 即∃M > 0 , 使对 x ∈∀ I 和∀n , 有 Mxvn ≤ |)(| . 则级数 ∑ xvxu )()( nn 在区 间I 上一致收敛 . 3．Dirichlet 判别法: Th 6 设 ⅰ> 级数∑ xu )( n 的部分和函数列 在区间 上一致有界; ⅱ> 对于每一个 ∑= = n k n k xuxU 1 )()( I x ∈ I , 数列 单调; ⅲ> 在 区间 I 上函数列 一致收敛于零. 则级数 xv )}({ n xv )}({ n ∑ xvxu )()( nn 在区 间I 上一致收敛 . 例 14判断函数项级数∑ + +− 1 )() 1( n n n n nx 在区间 ] 1 , 0 [ 上的一致收敛性. 解 记 n n n n n x xv n xu ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += − = 1)( , ) 1( )( . 则有ⅰ> 级数∑ xu )( n 收 敛; ⅱ> 对每个 x∈ ] 1 , 0 [ , xv )( ↗；ⅲ> n e 161 n ⎠ x xv n n ⎟ ≤ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1|)(| +=
对Vx∈[0,11和m成立.由Abel判别法,∑在区间[0,1上 致收敛 例15设数列{an}单调收敛于零·试证明:级数∑ a cos nx 在区间[a,2x-a](0<a<)上一致收敛 证在[a,2丌-a]上有 n(n+=)x ∑ cos kr|= +一 22sn2 x1225n2 可见级数∑ cosnx的部分和函数列在区间[a,2x-a]上一致有界 取un(x)=cosm,v、(x)=an,就有级数∑u1(x)的部分和函数列 在区间[a,2x-a]上一致有界,而函数列{vn(x)}对每一个 x∈[a,2n-a]单调且一致收敛于零.由 Dirichlet判别法,级数 a cosnx在区间[a,2n-a]上一致收敛.其实,在数列{an}单 调收敛于零的条件下,级数∑ a cosnx在不包含 2kx(k=0,±1,±2,…)的任何区间上都一致收敛 习题课(2时) 例1设J(x)→>f(x),(n→∞),x∈D.an>0且 an→0,(n>∞).若对每个自然数n有|fn(x)-f(x)|≤an对 x∈D成立,则函数列{fn(x)}在D上一致收敛于函数f(x) 例2证明函数列{x"}在区间[0,1]上非一致收敛 例3fn(x)= 1+nx2,x∈[0,1l讨论函数列{fn(x)}的一致收 敛性
对 ∀ x ∈ ] 1 , 0 [ 和∀n 成立. 由 Abel 判别法, ∑ 在区间 上 一致收敛. ] 1 , 0 [ 例 15 设数列 }{ 单调收敛于零 . 试证明 : 级数 an ∑ n cosnxa 在区间 α π −α ] 2 , [ < α < π )0( 上一致收敛. 证 在 α π −α ] 2 , [ 上有 2 1 2 sin2 1 2 1 | 2 sin|2 1 2 1 2 sin2 ) 2 1 sin( |cos| 1 ≤− +≤+ + ∑ = = x x α xn kx n k . 可见级数 ∑cos nx 的部分和函数列在区间 α π −α ] 2 , [ 上一致有界 . 取 nxxu , n = cos)( n = axv n )( . 就有级数∑ xu )( n 的部分和函数列 在区间 α π −α ] 2 , [ 上一致有界 , 而函数列 对每一个 xv )}({ n x∈ α π −α ] 2 , [ 单调且一致收敛于零.由 Dirichlet 判别法,级数 ∑ n cosnxa 在区间 α π −α ] 2 , [ 上一致收敛. 其实 , 在数列 单 调 收 敛 于 零 的 条 件 下 , 级 数 在不包含 }{an ∑ n cosnxa π kk ±±= ") , 2 , 1 , 0 ( 2 的任何区间上都一致收敛. 习 题 课 ( 2 时 ) 例 1 设 xf )( , , n → xf )( n ∞→ ) ( x∈ D . 且 , .若对每个自然数 有| ― | an > 0 an → 0 n ∞→ ) ( n xf )( n xf )( ≤ an 对 x ∈∀ D成立, 则函数列{ xf )( }在 上一致收敛于函数 . n D (xf ) 例 2 证明函数列 在区间 }{ 上非一致收敛. n x ] 1 , 0 [ 例 3 xf )( n = 22 1 n x nx + , x∈ ] 1 , 0 [ . 讨论函数列{ }的一致收 敛性. xf )( n 162
解 lim f,(x)=0,x∈[0,1].|f(x)-0|=f(x).可求得 max f(x)=fn(-)=→0,(n→∞) →函数列{厂n(x)}在区间[0,1]上非一致收敛 例4设函数f(x)在区间[ab]上连续.定义fm(x)=Jf()t 试证明,函数列{n(x)}在区间[a,b]上一致收敛于零 证法一由f(x)∈C[a,b],f1(x)有界.设在区间[a,b]上 lf(x)≤M I f2(x)=f lf s M(x-a)sM(b-a) 1f(x)=42(x-o)s2Mb-a) M 1m(x)11m(x-)2≤Mb-a) 意到对Vc, I cm +o,→ M(b-a) →0,(n→∞) →J二0,(n→∞),x∈[a,b 证法二fn1(x)=fn(x),fn1(a)=fn(a)=0, fn1(x)=fn1(x),f"(a)=fn1(a)=0, fr(x)=f(x) f(x)∈C[a,b],f1(x)有界.设在区间[a,b]上|f(x)|≤M.把函 数fm1(x)在点a展开成具 Lagrange型余项的n-1阶Tay1lor公式,注 意到 fn1(a)=f"1(a)=…=fm)(a)=0
解 0, n ∞→ lim xf )( n = x ∈ ] 1 , 0 [ . | xf )( ― 0| n = xf )( n . 可求得 10 maxx≤≤ xf )( n = ,0 2 1 ) 1 ( = →/ n f n n → ∞ ) ( . ⇒ 函数列{ xf )( }在区间 上非一致收敛. n ] 1 , 0 [ 例 4 设函数 在区间 上连续 . 定义 . 试证明，函数列{ }在区间 上一致收敛于零. )(1 xf ba ] , [ ∫ + = x a n n )()( dttfxf 1 xf )( n ba ] , [ 证法一 由 )( , ],[)(1 1 ∈ xfbaCxf 有 界 . 设 在 区 间 上 | | ba ] , [ )(1 xf ≤ M . | )( | ; 2 xf ∫∫ −≤−≤≤= x a x a abMaxMff )()(|||| 1 1 | )( | 3 xf ∫∫ −≤−≤≤= x a x a abMax M ff 2 2 2 2 )( 2 1 )( 2 |||| ; ……………………… | )( | 1 xf n+ ∫∫ −≤−≤≤= x a n n n x a n abM n ax n M ff )( ! 1 )( ! |||| . 注意到对 ∑ → − ∀ ⇒+∞< 0 ! )( , ! || , n abM n c c n n , n → ∞ ) ( . ⇒ 0, n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ n → ∞ ) ( , x ∈ ba ] , [ . 证法二 , 0 )()( , )()( n ′ +1 = n n ′ +1 = n afafxfxf = , 0)()( , )()( n ′′ +1 = n−1 n ′′ +1 = n−1 afafxfxf = )()( , . 1 )( 1 xfxf n "" n+ = ],,[)(1 ∈ baCxf )( 有界. 设在区间 上| | 1 xf ba ] , [ )(1 xf ≤ M . 把函 数 在点 展开成具 n+1 xf )( a Lagrange 型余项的n −1阶 Taylor 公式 , 注 意到 )()( 0)( , )1( ′ 1 = ′′ 1 == 1 = − + + + afafaf n n n " n 163
就有1fm(x)=/((x-a) a≤5≤b, lf1() x-a)"≤ M(b-a) n→0 n x∈[a,b].所以,fn0,(n→∞),x∈[a,b 例5设∫:[a,b]→>(a,b).En>0且En→>0,(n→∞).令 f(x)=f(x),f(x)=f((x)=f(f(x), fn(x)=(n-(x)=f((…f(x)…) 试证明:若对Vn和Vx,y∈[a,b],有 J(x)-fn(y)≤En|x-y 则函数列{fn(x)}在区间[a,b]上一致收敛 证对vE>0,取N,使n>N时,有En< 于是对任何 自然数p和x∈[a,b],有 1fn(x)-fn0(x)|=1f(x)-f(x)≤sn|x-fn(x)|≤ 8, (6-a)<a 由 auchy收敛准则,函数列{fn(x)}在区间[a,b]上一致收敛 例6设在数集D上函数列{n(x)}一致收敛于函数∫(x).若每个 fn(x)在数集D上有界,则函数列{∫n(x)}在数集D上一致有界 证(先证函数∫(x)在数集D上有界)设在D上有|fn(x)|≤M 对E=1,由函数列{厂n(x)}在数集D上一致收敛,彐N,当N0>N时 对Vx∈D,有
就有 n n n n ax n f xf )( ! )( |)(| )( 1 1 = − + + ξ ≤ ξ ≤ ba , 0 ! )( )( ! |)(| 1 → − = ≤− n abM ax n f n ξ n , n → ∞ ) ( , x∈ ba ] , [ . 所以 , 0, , n f ⎯⎯→ ⎯⎯→ n ∞→ ) ( x∈ ba ] , [ . 例 5 设 → babaf ),(],[ : . ε n > 0 且ε n → 0 , n → ∞ ) ( . 令 )()( , 1 = xfxf 2 = ( ) = ( 1 xffxffxf ) , )()()( " , ( ) ( ) "" n层复合 n n xfffxffxf )(()()( = −1 = . ……. 试证明: 若对∀ n 和 ∀ , ] yx ∈ ba , [ , 有 yxyfxf || )()( n n ε n −≤− , 则函数列{ xf )( }在区间 上一致收敛 . n ba ] , [ 证 对 ε >∀ , 0 取 N , 使 > Nn 时, 有 ab n − < ε ε . 于是对任何 自然数 p 和 x ∈∀ ba ] , [ , 有 − = − ( ) ≤ − ≤ |)(| |)()(| |)()(| + xfxxffxfxfxf n pn n pn n p ε ε ab )( <− ε n . 由 Cauchy 收敛准则 , 函数列{ xf )( }在区间 上一致收敛 . n ba ] , [ 例 6 设在数集 上函数列{ }一致收敛于函数 . 若每个 在数集 上有界 , 则函数列{ }在数集 上一致有界 . D xf )( n xf )( xf )( n D xf )( n D 证 ( 先证函数 xf )( 在数集 上有界 ) 设在 上有| | D D xf )( n ≤ M n . 对ε = 1,由函数列{ xf )( }在数集 上一致收敛, n D ∃N ,当 时 , 对 ,有 0 > NN x ∈∀ D 164