SF01(数) Ch2数列极限 计划课时:20时 P1020 2004.09.18
S F 01（数） Ch 2 数列极限 计划课时： 2 0 时 P 10—20 2004．09．18
Ch2数列极限(12时) §1数列极限(8时) 数列: 数列定义 整标函数.数列给出方法:通项,递推公式(循环级数) 数列的几何意义.特殊数列:常驻列,有界列,单调列和往后单调列. 数列极限:以an=1+(-1)为例 定义( lim a=a的“E-N”定义) 定义(数列{an}收敛的“E-N”定义) E的正值性,任意性与确定性,E以小为贵;N的存在性与非唯一性,对N只要 求存在,不在乎大小 lim a=a的几何意义.[jP34图221 用定义验证数列极限:思路与方法 例1lim-=0 例2imq”=0 例3linn2+1_1 n+2n2-7 例4li n 例5lima=1,a 证法一令Va-1=an,有an>0.用 Bernau不等式,有 a=(1+an)”≥1+nan=1+m(an-1),或0 证法二(用均值不等式)
Ch 2 数列极限 （ 1 2 时 ） § 1 数列极限 （ 8 时 ） 数列： 数列定义 —— 整标函数. 数列给出方法: 通项, 递推公式（ 循环级数 ）. 数列的几何意义. 特殊数列: 常驻列, 有界列, 单调列和往后单调列. 二. 数列极限: 以 n a n n ) 1 ( 1 − += 为例. 定义 ( aan n = ∞→ lim 的 “ε − N ”定义 ) 定义 ( 数列{an }收敛的“ε − N ”定义 ) ε 的正值性, 任意性与确定性, ε 以小为贵; N 的存在性与非唯一性, 对 只要 N 求存在, 不在乎大小. aan n = ∞→ lim 的几何意义. [1]P34 图 2.2.1. 用定义验证数列极限： 思路与方法. 例 1 .0 1 lim = n ∞→ n 例 2 = < .1 ,0lim∞→ q q n n 例 3 2 1 72 1 lim 2 2 = − + ∞→ n n n . 例 4 1 32 lim 2 = −+ ∞→ n nn n . 例 5 = > .1 ,1lim∞→ a a n n 证法一 令 n ,1 n a =− α 有 α n > .0 用 Bernoulli 不等式，有 ),1(11)1( 1 −+=+≥+= n n n n a α α ann 或 . " 1 10 1 n a n a a n < − ≤−< 证法二 （用均值不等式） 10
0<a a+n-1 例6 lim Vn=1 n+n- 证n≥2时,0< limA/5n+3 证(用均值不等式)当n≥9时, 2√n+6+n-3 < 6√√m1…1 例 a 无穷小量:定义 Th(数列极限与无穷小量的关系) Th(有界量与有界量的积) Ex[P43-441(1)(7),2(1)2)5).3, 收敛数列的性质 1.极限唯一性:(证) 2.收敛数列有界性—收敛的必要条件:(证) 3.收敛数列保号性(或保序性) Th1设lima=a,limb=b.若a>b,则彐N,)Vn>N,→a>b,(证) 系1设 lim a=a, lim b=b若丑N,Ⅶn>N时有an<bn,→a≤b.(注 意“=”;并注意b≡b和b=0的情况) 系2设lima 0(或<0).则对v0< (或
n N n n aa 1个 1110 − ⋅=−< " . " 1 1 1 1 n a n a n na < − =− + − ≤− 例 6 = .1lim∞→ n n n 证 n ≥ 2时， . 222 1 22 10 11 2 n n n n nn nnn n n n < − =− −+ =−< ≤− − =+ 135lim∞→ n n n . 证 （用均值不等式）当 时， n ≥ 9 1 362 111 6161350 − −++ =−=−+< ≤− n nn n n nn n n n " , "" 3332 n n n n n ≤≤ + = 例 8 设 . 1 ,lim 1 ∑= ∞→ == n i n n i n a n Aaa 证明 n aA .limn = ∞→ 无穷小量: 定义. Th ( 数列极限与无穷小量的关系 ). Th （ 有界量与有界量的积 ） Ex [1]P43—44 1 ⑴—⑺，2⑴⑵⑸. 3 , 收敛数列的性质: 1. 极限唯一性：（ 证 ） 2. 收敛数列有界性 —— 收敛的必要条件：（ 证 ） 3. 收敛数列保号性(或保序性)： Th 1 设 n bbaa .lim ,lim n n n = = ∞→ ∞→ 若 > ba , 则 . , , ∀ >⇒> baNnN nn ∃ ∋ （ 证 ） 系 1 设 n bbaa .lim ,lim n n n = = ∞→ ∞→ 若∃ ∀ > < baNnN nn , 时有 ， （注 意“ = ” ；并注意 ⇒ ≤ ba . n ≡ bb 和 b = 0的情况 ）. 系 2 设 lim = > ( 0 ∞→ aan n 或< )0 . 则对∀0 < < ar (或 < < Nra ∋∃ , ),0 11
yn>N,→an r(或an<r) 系3若iman=a≠0,则对v0<r<|abBN,Wn>N,→|an|>F. 绝对值收敛性见后 迫敛性(双逼原理) Th2(双逼原理)(证) 绝对值收敛性 Th3Iman=a,→ lim a=|a(注意反之不确) lima=0.eli (证) 系设数列{an}和{bn}收敛,则 lim max( a,, b,)=max lim a,, lim b,i, lim mini a bi= min lima,, limb, i (证明用到以下6所述极限的运算性质 四则运算性质 Th4(四则运算性质,其中包括常数因子可提到极限号外)(证 7.子列收敛性:子列概念 Th5(数列收敛充要条件){an}收敛{an}的任何子列收敛于同一极限 Th6(数列收敛充要条件){an}收敛子列{a2n1}和{a2n}收敛于同一极限 Th7(数列收敛充要条件){an}收敛分子列{a2k-}、{a2x}和{a3k}都收敛 简证 利用数列极限性质求极限: 两个基本极限:lim=0,limq"=0,(q|<1) n-0pn 利用四则运算性质求极限:
, n >⇒>∀ raNn (或 ra ). n < 系 3 若 lim = ≠ ,0 ∞→ aan n 则对 n >⇒>∀∃<<∀ raNnNar . , , , 0 绝对值收敛性见后. 迫敛性 ( 双逼原理 ): Th 2 ( 双逼原理 ). ( 证 ) 绝对值收敛性: Th 3 n aaaa . lim ,lim n n n ⇒= = ∞→ ∞→ ( 注意反之不确 ). ⇔= = .0 lim ,0lim∞→ ∞→ n n n n a a ( 证 ) 系 设数列{ } an 和{ } bn 收敛, 则 }.lim , lim { min } , { min lim }, lim , lim max{} , max{lim n n n n nn n n n n n nn n ba ba ba ba ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ = = ( 证明用到以下 6 所述极限的运算性质 ). 四则运算性质: Th 4 ( 四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外 ). ( 证 ) 7. 子列收敛性: 子列概念. Th 5 ( 数列收敛充要条件 ) { an }收敛 ⇔ { }的任何子列收敛于同一极限. an Th 6 ( 数列收敛充要条件 ) { an }收敛 ⇔ 子列{ }和{ }收敛于同一极限. a n−12 a2n Th 7 ( 数列收敛充要条件 ) { an }收敛 ⇔ 子列{ }、{ }和{ 都收敛. a k−12 a2k } a3k ( 简证 ) 利用数列极限性质求极限: 两个基本极限： ). 1 ( ,0lim ,0 1 lim = <= ∞→ ∞→ qq n n n n 利用四则运算性质求极限： 12
例9 3n+1n+10 n→1-2n2n+5 关于n的有理分式当 时的极限情况 填 (2)1m≌3-3n+an-2a3 k int 例11limn(Vn2+1-√m2-1) 例12求极限lim 例13求证:当a>0时,lima=1.(与例5联系) 例14lim +1 Ex[P445-9 双逼基本技法:大小项双逼法,参阅[4]P53 求下列极限 )lim(√3-1)sin(2n2+1); lim 1 4n2+2 例16limv.(1≤vn=m√m12≤ 2√n+n-2 0, k).求证 lim"+a2+…+a=max{a,a2,…,a1}
例 9 . 52 10 21 13 lim + + ⋅ − + ∞→ n n n n n 註： 关于n 的有理分式当 时的极限情况 n ∞→ . 填空: ⑴ ______________; )12( )12()2( lim 102 62 8 = + −+ ∞→ n nn n ⑵ , ._________ 8 1 2 73 3 2 lim 2 2 3 223 3 =+= +−+ −+− ∞→ ka ananna ananan k n 例 11 ). 11 (lim 2 2 −−+ ∞→ nnn n 例 12 求极限 n n n n n 3253 )2(5 lim 1 ⋅ ⋅+ −− + ∞→ . 例 13 求证: 当 a > 0 时, = .1lim∞→ n n a ( 与例 5 联系) 例 14 .1 . 1 lim ≠ ∞→ + a a a n n n Ex [1]P44 5 — 9 双逼基本技法: 大小项双逼法，参阅[4]P53. 求下列极限: ⑴ );12sin( ) 13 (lim 2 − + ∞→ n n n ⑵ ∑= ∞→ + n i n 0 in2 ; 3 1 lim ⑶ . 12 1 24 1 14 1 lim 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ + + + n ∞→ n n n " 例 16 .lim n n n ∞→ ( .)1 22 1 1 2 → −+ ≤⋅=≤ − n nn nnn n n n 例 17 ai ≤> ≤ ki ).1( ,0 求证 lim }.,,, max{ 21 21 k n n k nn n " =+++ " aaaaaa ∞→ 13