§2.5高阶导数 今高阶导数的定义 今几个初等函数的n阶导数 今函数和差、积的n阶导数 自贝
❖高阶导数的定义 ❖几个初等函数的 n 阶导数 ❖函数和差、积的n 阶导数 §2.5 高阶导数 首页 上页 返回 下页 结束 铃
今高阶导数的定义 我们把函数y=(x)的导数y=f(x)的导数(如果可导)叫 做函数y=f(x)的二阶导数,记作 y、f"(x)或 dx2 即y=0),(x)=°(x)y或2y=4() 类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的 导数叫做四阶导数;一般地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶 导数,分别记作 ,y()或 dxl 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 我们把函数y=f(x)的导数y =f (x)的导数(如果可导)叫 做函数y=f(x)的二阶导数 记作 y 、f (x)或 2 2 dx d y 即 y =(y) f (x)=[f (x)] 或 ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y = 类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的 导数叫做四阶导数; 一般地 (n−1)阶导数的导数叫做n阶 导数 分别记作 y y (4) y (n) 或 3 3 dx d y 4 4 dx d y n n dx d y 下页 ❖高阶导数的定义
y′=(y),f"(x)=f(x), dzy d dy dx2 dx dx 函数y=f(x)的导数y′=f(x) 撤加一撤, 是x的函数,我们把y=f(x)的导数 当然是两撒 叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作 2 y"=(y)或 dx dx 例1y=ax+b,求y 解y=a,y 例2s=sino,求s" 解 s=ocosot. s=-0-sinot 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 y=ax+b 求y 例2 s=sinwt 求s 解 y=a y=0 解 s=wcoswt s=−w2 sinwt y =(y) f (x)=[f (x) ] ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y = 下页
y′=(y),f"(x)=f(x), dzy d dy dx2 dx dx 例3证明:函数y=2x-x2满足关系式y3y"+1=0 证明因为y= 2-2x X 2√2x 2x 2-2x X-X 2√2x-x2 y Ox-x -2x+x2-(1-x)2 (2x-x2)(2x-x2) (2x-x2)2 所以y3y+1=0 自贝 页返回 下页结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y − − = − − = 所以y 3y+1=0 y =(y) f (x)=[f (x) ] ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) x x x x x x x x y − − − − − − − = (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = 3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x =− − =− 证明 证明 函数 2 2 y = x−x 满足关系式 1 0 例3 y 3 y + = 证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y − − = − − = (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = 3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x =− − =− (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x − − − + − − = 3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x =− − =− 首页
今几个初等函数的n阶导数 例4求函数y=ex的m阶导数 解y′=er,y=e,y"=e,y4)=e 般地,可得yn)=e,即(e)yn)=e 例5求函数n(1+x)的m阶导数 解y=ln(1+x),y=(1+x)-1,y′=(1+x)2, y"=(-1)(-2)(1+x)-3,y4=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4, 般地,可得 y0)=(-1)(-2)·(-n+1)1+x)n=(-1) (n-1) +x 即 n(1+x)y=(-1)y=1(n2-1y (1+x) 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 求函数y=e x的n阶导数 即(e x ) (n)=e x 一般地 可得y (n)=e x y=e x 解 y (4)=e x y=e x y=e x 例5 求函数ln(1+x)的n阶导数 一般地 可得 y (4)=(−1)(−2)(−3)(1+x) −4 解 y=ln(1+x) y (n)=(−1)(−2) (−n+1)(1+x) −n n n x n (1 ) ( 1)! ( 1) 1 + − = − − 即 n n n x n x (1 ) ( 1)! [ln(1 )] ( 1) ( ) 1 + − + = − − y =−(1+x) −2 y=(1+x) −1 y =(−1)(−2)(1+x) −3 下页 ❖几个初等函数的 n 阶导数