§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性 、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 自贝
§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点
、函数单调性的判定法 函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函 数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降 的呢? y=f(r) b 页返回 结束 铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数单调性的判定法 函数y=f(x)的图象有时上升, 有时下降. 如何判断函 数的图象在什么范围内是上升的, 在什么范围内是下降 的呢？ 下页
观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系? 观察结果 函数单调增加时导数大于零,函数单调减少时导数 小于零 y=f(r) f"(x)>0 f"(x)<0 b 画演示 返回 结束 铃
动画演示 首页 上页 返回 下页 结束 铃 f (x)>0 f (x)<0 •观察结果 函数单调增加时导数大于零, 函数单调减少时导数 小于零. •观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系？ 下页
今定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f(x)>0,则(x)在[a,b上单调增加; (2)如果在(a,b)内f(x)<0,则f(x)在[a,b上单调减少 证明只证(1)在(a,b)内任取两点x12x2(x1x2) 由拉格朗日中值公式,有 fx2)f(x1)f((x2-x1)(x15x2 因为f(5)>0,x2-x1>0,所以 f(x2)-f(x1)=f(9(x2-x1)>0, f(x1)<(x2) 这就证明了函数x)在(a,b)内单调增加 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少. 由拉格朗日中值公式, 有 f(x2 )−f(x1 )=f (x)(x2−x1 ) (x1<x<x2 ). 因为f (x)>0, x2−x1>0, 所以 f(x2 )−f(x1 )=f (x)(x2−x1 )>0, 即 f(x1 )<f(x2 ) , 这就证明了函数f(x)在(a, b)内单调增加. 证明 只证(1). 在(a, b)内任取两点x1 , x2 (x1<x2 ), 下页
今定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f(x)>0,则(x)在[a,b上单调增加; (2)如果在(a,b)内f(x)<0,则f(x)在[a,b上单调减少 说明: 判定法中的开区间可换成其他各种区间 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明： 判定法中的开区间可换成其他各种区间. 下页 ❖定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少