§3.3泰勒公式 、泰勒公式 麦克劳林公式 直贝
二、麦克劳林公式 一、泰勒公式 §3.3 泰勒公式 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、泰勒公式 问题的提出 根据函数的微分,有 fx)=f(x)+f"(xo)(x-x0)+o(x-x0)(当-x很小时) 略掉o(x-xo),得到求fx)的近似公式 fx)f(xo)+f'(xo)(x=x0(当x-x0很小时 其误差为 R()=fx)f(o)f(o(x-xo 近似公式的不足:精确度不高误差难于估计 为了达到一定的精确度要求,可考虑用n次多项式 Pn(x)来近似表达fx) 首页页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒公式 •问题的提出 根据函数的微分, 有 f(x)=f(x0 )+f (x0 )(x-x0 )+o(x-x0 )(当|x-x0 |很小时), 略掉o(x-x0 ), 得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0 )+f (x0 )(x-x0 )(当|x-x0 |很小时), 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0 )-f (x0 )(x-x0 ). 近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计. 为了达到一定的精确度要求, 可考虑用n次多项式 Pn (x)来近似表达f(x). 下页
多项式Pn(x)的确定 设函数(x)在含x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 (x)=aota(x total 0 )2+…+an(xx0 来近似表达fx)我们自然希望P2(x)与x)在x的各阶导数 (直到(n+1)阶导数)相等: f(o=P(xo) f(x0)=Pn"(x0) f(xo=Pn(ro), f(xo=Pn(o) fn(o=Pn(n(ro) 首页页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 我们希望找出一个关于(x-x0 )的n次多项式 Pn (x)=a0+a1 (x-x0 )+a2 (x-x0 ) 2+ +an (x-x0 ) n 来近似表达f(x). 我们自然希望Pn (x)与f(x)在x0的各阶导数 (直到(n+1)阶导数)相等: f(x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ), , f (n) (x0 )=Pn (n) (x0 ). •多项式Pn (x)的确定 下页
多项式系数的确定 fo=Pn(o)=ao f f(x0)=Pn(x0)=a1, a,=f(ro) f(o=P(o)=2la 2/" f"(x)=Pn"(xo)=3!a3, a3=f"(x0), fm(o=Pn(ro)=nla f(n(o) IPn(m(r)=nla 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 Pn (x)=a0+a1 (x-x0 )+ a2 (x-x0 ) 2+ + an (x-x0 ) n P , n (x)= a1+2a2 (x-x0 ) + +nan (x-x0 ) n-1 P , n (x)=2a2 +32a3 (x-x0 ) + +n(n-1)an (x-x0 ) n-2 P , n (x)=3!a3+432a4 (x-x0 ) + + n(n-1)(n-2)an (x-x0 ) n-3 P , n (n) (x)=n!an . •多项式系数的确定 =a0 , a0 = f(x0 ), =a1 , a1 = f (x0 ), =2!a2 , =3!a3 , , f(x0 )=Pn (x0 ) f (x0 )=Pn (x0 ) f (x0 )=Pn (x0 ) f (x0 )=Pn (x0 ) f (n) (x0 )=Pn (n) (x0 ) = n!an . , ( ) 2! 1 2 0 a = f x , ( ) 3! 1 3 0 a = f x , ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n = . 下页
多项式系数的确定 ak=f6(x0)(k=0,1,2,…,n) 于是所求多项式为 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+……+an(x-x0)y (x)+f(x)(x-x0)+1(xXx-x)2 +f(o(x-xo 首页页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 Pn (x)=a0+a1 (x-x0 )+a2 (x-x0 ) 2+ +an (x-x0 ) n 于是所求多项式为 ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k = (k=0,1,2, ,n). = f(x0 )+ f (x0 )(x-x0 ) (x-x0 ) 2 ( ) 2! 1 0 + f x ( ) ! 1 0 ( ) f x n + + n (x-x0 ) n . 下页 •多项式系数的确定