§2.7函数的微分 、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 自贝
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 §2.7 函数的微分 首页 上页 返回 下页 结束 铃 四、微分在近似计算中的应用
、微分的定义 今引例 块正方形金属片受热后其边长x由x0变到x0+△x, 考查此薄片的面积A的改变情况. 因为A=x2,所以金属片面积 Ax(△x)2 的改变量为 xn△x △x △A=(x0+△x)2-(x0)2 2x0△x+(△x)2 当△x->0时,(△x)2=O(△x) xa△x|x0 △A的主要部分是Ax的线性函数 A=Co 2x0Ax,2x△x是△A的近似值 首页页返回结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、微分的定义 ❖引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0+Dx 考查此薄片的面积 A 的改变情况. 因为 A=x 2 所以金属片面积 的改变量为 DA=(x0+Dx) 2−(x0 ) 2 =2x0Dx+(Dx) 2 . A=x0 2 x0 x0 Dx x Dx 0Dx x0Dx (Dx) 2 当Dx→0时 (Dx) 2=o(Dx ) DA的主要部分是Dx的线性函数 2x0Dx 2x0Dx是DA的近似值. 下页
今微分的定义 设函数y=(x)在某区间内有定义,x0及x+△x在这区间 内,如果函数的增量 △y=f(x0+△x)f(x0) 可表示为 △y=A△x+O(△x) 其中A是不依赖于△x的常数,O(△x)是比Ax高阶的无穷小, 那么称函数y=(x)在点x是可微的,而AAx叫做函数y=f(x) 在点x相应于自变量增量△x的微分,记作dy,即 dy=A△x 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数y=f(x)在某区间内有定义 x0及x0+Dx在这区间 内 如果函数的增量 Dy=f(x0+Dx)−f(x0 ) 可表示为 Dy=ADx+o(Dx) 其中A是不依赖于Dx的常数 o(Dx)是比Dx高阶的无穷小 那么称函数y=f(x)在点x0是可微的 而ADx叫做函数y=f(x) 在点x0相应于自变量增量Dx的微分 记作dy 即 dy=ADx. ❖微分的定义 下页
y=(x)在点x可微今Ay=A△x+o(△x).ay=AAx 可微与可导的关系 函数f(x)在点xo可微函数(x)在点x0可导 函数在点x0的微分一定是 dy=f"(xo)△x 这是因为,一方面 △y=Ax+(△x)==440()lmA=f(x)=A △x △x-)0△X 另一方面 △ m=f(x0)→=f(x0)+a→△y=f(x0)△x+aAx >0△x △x 其中a>0(当△x>0),且A=(xo)是常数,aAx=o(△x 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数f(x)在点x0可微 函数f(x)在点x0可导. 函数在点x0的微分一定是 dy=f (x0 )Dx. •可微与可导的关系 y=f(x)在点x0可微Dy=ADx+o(Dx). dy=ADx. 这是因为 一方面 另一方面 其中a→0(当Dx→0) 且A=f(x0 )是常数 aDx =o(Dx). f x A x y x o x A x y y A x o x x = = D D D D = + D D D = D + D D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 . f x y f x x x x y f x x y x = + D = D + D D D = D D D → lim ( 0 ) ( 0 ) a ( 0 ) a 0 . f x A x y x o x A x y y A x o x x = = D D D D = + D D D = D + D D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A. x y x o x A x y y A x o x x = = D D D D = + D D D = D + D D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 . f x y f x x x x y f x x y x = + D = D + D D D = D D D → lim ( 0 ) ( 0 ) a ( 0 ) a 0 f x y f x x x . x y f x x y x = + D = D + D D D = D D D → lim ( 0 ) ( 0 ) a ( 0 ) a 0 . 下页
y=(x)在点x可微今Ay=A△x+o(△x).ay=AAx 可微与可导的关系 函数f(x)在点xo可微函数(x)在点x0可导 函数在点x0的微分一定是 dy=f"(xo)△x 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的微分,记 作dy或d(x),即 小=f'(x)Ax 例如,dosx=(cosx)△x=sinx△x; de=(ex)△x=ex△x 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数y=f(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记 作dy 或 df(x) 即 dy=f (x)Dx. 例如 dcos x=(cos x)Dx =−sin x Dx dex=(e x )Dx=e xDx. 函数f(x)在点x0可微 函数f(x)在点x0可导. 函数在点x0的微分一定是 dy=f (x0 )Dx. y=f(x)在点x0可微Dy=ADx+o(Dx). dy=ADx. 下页 •可微与可导的关系