§2.6由方程所确定的函数的导数 、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 自贝
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 §2.6 由方程所确定的函数的导数 首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、相关变化率
隐函数的导数 今显函数与隐函数 形如y=(x)的函数称为显函数 例如, y-sin x,y=lnx+ex都是显函数 由方程F(x,y)=0所确的函数称为隐函数 例如,方程x+y3-1=0确定的隐函数为y=31-x 把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、隐函数的导数 ❖显函数与隐函数 形如y=f(x)的函数称为显函数 例如 y=sin x y=ln x+e x 都是显函数 由方程F(x y)=0所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程x+y 3−1=0确定的隐函数为 3 y = 1−x 下页
隐函数的导数 今隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数,然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出 例1求由方程e+xy-e=0所确定的隐函数y的导数 解方程中每一项对x求导得 (ey)y+(xy)-(e)=(0) 即 从而y= (x+e≠0) x+ey 提示:(e)=ey,(xy)=y+y 首页上页返回结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: 例1 求由方程e y+xy−e=0所确定的隐函数y的导数 (e y )+(xy)−(e)=(0) 即 e y y+y+xy=0 ❖隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出 一、隐函数的导数 解 方程中每一项对x求导得 从而 y x e y y + =− (x+e y 0) (e (xy)=y+xy y )=e y y 下页
例2求由方程y5+2x-3x=0所确定的隐函数y=(x) 在x=0处的导数y=0 解法一把方程两边分别对x求导数得 5y4y+2y-1-21x5=0, 由此得y 1+21x 5y4+2 因为当x=0时,从原方程得y=0,所以 1+21x y4+2=0 5 2 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 求由方程y 5+2y−x−3x 7=0所确定的隐函数y=f(x) 在x=0处的导数y| x=0 因为当x=0时 从原方程得y=0 所以 5y 4 y+2y−1−21x 6=0 解法一 把方程两边分别对x求导数得 由此得 5 2 1 21 4 6 + + = y x y 2 1 | 5 2 1 21 | 0 4 6 0 = + + x= = x= y x y 下页
例2求由方程y5+2x-3x=0所确定的隐函数y=(x) 在x=0处的导数y 解法二把方程两边分别对x求导数得 5y4y2+2y-1-21x6=0, 根据原方程,当x=0时,y=0,将其代入上述方程得 2y-1=0 从而y x=0 =0.5 【结论】 3【结论】 无理函数求导 用对数求导法/2 多1求幂指函数y=(x)2导数, 只能采用对数求导法。 效果特别好 Iny =v(x) Inu(x). =l“(ylnu+) 首页 页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 5y 4 y+2y−1−21x 6=0 根据原方程 当x=0时 y=0 将其代入上述方程得 2y−1=0 从而 y| x=0=05 解法二 把方程两边分别对x求导数得 下页 例2 求由方程y 5+2y−x−3x 7=0所确定的隐函数y=f(x) 在x=0处的导数y| x=0