关于数列极限也有类似的四则运算法则 定理2(复合函数的极限运算法则) 设函数y=∫[q(x)是由函数y=∫(u)与 u=gp(x)复合而成,y=f[g(x)在点x的某去 心邻域内有定义.若1img(x)=,imf(u)=A x→)X l→L 且存在>0,当∈U(x0,8)时,有(x)≠0 则 im flp(x]=lim f(u)=A L→L 上一页下一页返回
关于数列极限也有类似的四则运算法则 定理2 （复合函数的极限运算法则） 设函数 y = f[(x)] 是由函数 y = f (u) 与 u = (x) 复合而成， y = f[(x)] 在点 x0 的某去 心邻域内有定义．若 0 lim ( ) 0 x u x x = → f u A u u = → ,lim ( ) 0 且存在 0 0 ，当 ( 0 , 0 ) 时， 0 x U x 有 0 (x) u 则 f x f u A x x u u = = → → lim [ ( )] lim ( ) 0 0
证按函数极限的定义,需要证:对任意的 E>0,存在δ>0,当0<x-x0<6 ∫[q(x)]-A<E 由于limf(u)=A,对任意E>0,存在>0 当0<n-01<时,f(u)-4<E 又由于皿myx)=m对上面得到的n>0存在 6>0,当0<x-x<8时,(x)-l<m 由条件当x∈U(x28)时,(x)≠ 上一页下一页返回
证 按函数极限的定义，需要证：对任意的 0 0 0 x − x0 f[(x)]− A ，存在 ，当 由于 u lim →u f (u) = A ，对任意 ，存在 0 0 0 当 0 u − u0 时， f (u) − A 又由于 lim ( ) , 0 0 x u x x = → 对上面得到的 0 ，存在 0 1 ，当 0 x − x0 时， (x) − u0 由条件当 ( 0 , 0 ) 时， 0 x U x 0 (x) u
取δ=mn{Sn,6},则当0<-0<5时, p(x)-u<η及q(x)-l≠0 同时成成立.即 0<@p(x)-ul< 成立,从而 八q(x)-A=f(u)-A<E 成立 此定理给出了求复合函数的极限的公式 lim flo(x)=lim f(u) x→X L→L 上一页下一页返回
取 min{ , } = 0 1 ，则当 0 u − u0 时， (x) − u0 及 (x) − u0 0 同时成成立．即 0 (x) − u0 成立，从而 f[(x)]− A = f (u) − A 成立． 此定理给出了求复合函数的极限的公式． lim [ ( )] lim ( ) 0 0 f x f u x→x u→u =
二、极限的不等性 定理3若lim∫(x)=A,img(x)=B,且f(x)≥g(x) 则有A≥B 证明:令F(x)=∫(x)-g(x)≥0 根据保号性定理,有 lim F(x)=liml f(x)-g(x)20 从而,limf(x)-limg(x)=A-B≥0 即A≥B 上一页下一页返回
二、极限的不等性 证明：令 F(x) = f (x) − g(x) 0 根据保号性定理，有 lim F(x) = lim[ f (x) − g(x)] 0 从而， lim f (x) − lim g(x) = A− B 0 即 A B. A B f x A g x B f x g x = = 则 有 定理3 若lim ( ) ,lim ( ) ,且 ( ) ( )