令:m(x1)=V(x,1)+W(x,D 原定解问题可作如下分解: L1V+LV=0,(t>0,x1<x<x2) a, V(t,x1)+B V(t,x1=0 a2Vx(t,x2)+B2(t,x2)=0 V(0,x)=(x),V7(0,x)=(x) 与 L,W+LW=f(x, t),(t>0,x,<x<x2) a1W2(t2x)+BW(,x)=0 a,W(t,x)+B,W(t,x,)=0 W(0,x)=0,W(0,x)=0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0,( 0, ) ( , ) ( , ) 0 (1) ( , ) ( , ) 0 (0, ) ( ), (0, ) ( ) t x x x t LV L V t x x x a V t x V t x a V t x V t x V x x V x x + = + = + = = = 令： u x t V x t W x t ( , ) ( , ) ( , ) = + 与 原定解问题可作如下分解 ： 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , ),( 0, ) ( , ) ( , ) 0 (2) ( , ) ( , ) 0 (0, ) 0, (0, ) 0 t x x x t LW L W f x t t x x x a W t x W t x a W t x W t x W x W x + = + = + = = =
对于(1),可考虑分离变量求解,因此,主要讨论(2) 的求解 (二)、齐次化原理在求解中的应用 对于(2),注意到方程是非齐次方程,边界条件 是齐次边界条件,初值条件为0初值条件,正好和 二阶线性偏微分方程理论中的齐次化原理条件相对 应,所以,可以考虑用齐次化原理求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 对于(1),可考虑分离变量求解，因此，主要讨论(2) 的求解 (二)、齐次化原理在求解中的应用 对于(2),注意到方程是非齐次方程，边界条件 是齐次边界条件，初值条件为0初值条件，正好和 二阶线性偏微分方程理论中的齐次化原理条件相对 应，所以，可以考虑用齐次化原理求解
齐次化原理回顾 齐次化原理 如果WM满足方程(M∈Rm at f(r, M) 那么非齐次柯西问题 ar? Lu+f( M)(MER,t>0) 的解为: =0 0 at u=w(t, M; r)dr 0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 齐次化原理1 齐次化原理回顾 ( ) 2 3 2 ,( , ) 0, , t t L M R t t f M t = = = = = ( ) = = = + = 0, = 0 , ,( , 0) 0 0 3 2 2 t t t u u Lu f t M M R t t u ( ) . .0 , ; t u W t M d = 如果 W M t ( , ; ) 满足方程： 那么非齐次柯西问题 的解为：
齐次化原理2 如果W(M,t)满足方程: L,(M∈R3,t>z t=T f(r, M). 那么非齐次柯西问题 Lu+f(t,M)(M∈R3,t>0) t 的解为: t=0 0 u=Sw(t M: a)dr
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 齐次化原理2 ( ) = = + = 0 , ,( , 0) 0 3 t u Lu f t M M R t t u ( ) ( ) = = = , , , , , 3 f M L M R t t t ( ) . .0 , ; t u W t M d = 如果 W M t ( , ; ) 满足方程： 那么非齐次柯西问题 的解为：
例1解定解问题 x a +4 ht 0<x<L.t>0 L 0 t=0 0 解:考虑相应齐次方程的定解问题 aw a-w 0<x<Lt>r>0 at x=0 f=T L
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 例1 解定解问题： ( ) 2 2 2 0 0 1 , 0 , 0 0 0 ht x x L t u u x a A e x L t t x L u u u − = = = = + − = = = 解：考虑相应齐次方程的定解问题 ( ) = − = = = − = = = h t x x L e L x W A W W x L t x W a t W 1 0 , 0 , 0 0 2 2 2