例1.求函数f(x)=(x-1)x的极值 解：)求导数)=x+(x-1)3x- 2)求极值可疑点 令f"(x)=0,得x=号；令f'(x)=0,得x2=0 3)列表判别 (-0,0) +∞) f'(x) .x=0是极大点其极大值为f(0)=0 x=号是极小点其极小值为f(③)=-0.33 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 = 3 + 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x − x 3 5 2 3 5 x x− = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 令 f (x) = , 得 x2 = 0 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + 是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2（极值第二判别法） 设函数f(x)在点xo处具有 二阶导数，且'(x)=0,f"(x)≠0 (1)若f"()<0,则f(x在点xo取极大值； (2)若f"(xo)>0,则f(x)在点xo取极小值 证：(1)f"(xo)=lim f(x)-f(xo) 2 lim f'(x) x-→x0 x-Xo x→x0X-X0 由f"(xo)<0知，存在δ>0，当0<x-xo<δ时， f'<0 故当x-δ<x<x时，f'(x)>0; 当x,<x<x+δ时，f'(x)<0, xo8 xo xo+8 由第一判别法知f(x)在x取极大值 (2)类似可证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0, 0 , 当 x − x0 时 故当 x0 − x x0时，f (x) 0; 当x0 x x0 + 时，f (x) 0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一判别法知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束