当A—>B或A×、B时, 在B中总能找到与D相对应的子式Dr, 由于Dr=D或D=-D或Dr=MD, 因此D≠0,从而R(B)≥r 当A>B时,分三种情况讨论: (1)D中不含第i; (2)D中同时含第和第行 (3)D中含第但不含第
当A B或 A r k B时， r r i i j 当A i j B时，分三种情况讨论： r kr r ,. 在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D , r r r r r 由于 Dr D 或 D D 或 D kD D 0 R(B) r. r 因此 ，从而 （ ） 中含第 行但不含第 行； （ ） 中同时含第 行和第 行； （ ） 中不含第 行； D i j D i j D i r r r 3 2 1
对(1),(2)两种情形,显然B中与D,对应的 子式D,=D≠0,故R(B)≥r. 对情形(3), D,=r:+kr; =r; +kr; =D,+kD 若D≠0, 因D中不含第i行知A中有不含第讠行的r阶 非零子式, R(B)≥r
0, ( ) . (1),(2) D D R B r B D r r r 子式 故 对 两种情形，显然 中与 对应的 对情形 (3)， , ˆ i j i j r r Dr r kr r k r D kD 0, 若D ˆ r , ˆ 非零子式 因 Dr 中不含第 i 行知 A中有不含第 i 行的 r 阶 R(B) r