西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第13讲 矩阵的秩

23 例1求矩阵A=23-5|的秩 47 解在A中, ≠0 又∵A的3阶子式只有一个A,且A=0, ∴R(A)=2

例1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩       A   解 在 A中， 又 A的 3 阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2  且 A  0，  R(A)  2

10 例2求矩阵B 2000 31 3240 253 的秩 00 解:B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行, B的所有4阶子式全为零 2 3 而03-2≠0,∴R(B)=3. 004

例2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩           B  解  B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有3行，  B的所有 4 阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3   而  R(B)  3

22 例3已知A=02 求该矩阵的秩 2 3 解 =2≠0,计算4的3阶子式 13-21323-22 02-1=0023=,-13=0-13=0, 201-205015-21 =0 R(A)=2

例3 已知 ，求该矩阵的秩．           2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3    2 0 1 0 2 1 1 3 2    2 0 5 0 2 3 1 3 2  解 计算A的3阶子式，  0,  0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2   2 1 5 0 1 3 1 2 2     0,  0,     0.  RA  2

13-22 另解对矩阵A=02-13做初等变换, 2015 13-22(13-22 02-13|~02-13 2015)(0000 显然,非零行的行数为2, R(A)=2 此方法简单!

对矩阵 做初等变换，           2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2                   显然，非零行的行数为2，  RA  2. 此方法简单！

、初等变换与矩阵的秩 因为对于任何矩阵Am,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形 问题:经过变换矩阵的秩变吗? 定理1若A~B,则R(A)=R(B) 证先证明:若A经一次初等行变换变为B, 则R(A)≤R(B) 设R(A)=r,且A的某个r阶子式D≠0

. , 等行变换把他变为行阶 梯形 因为对于任何矩阵 Amn 总可经过有限次初 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定理1 若 A ~ B,则 RA  RB. 证 二、初等变换与矩阵的秩 R(A) R(B). A B 则  先证明：若 经一次初等行变换变为 ， ( )   0. Dr 设 R A r，且 A的某个 r 阶子式