西安毛子律技大学XIDIANUNIVERSIT2）定义(α,β)'=a,b, +2a,b, +...+ ka,bk +...+nanb,易证(α,β)满足定义中的性质 1°～4°所以(α,β)也为内积.从而R"对于内积(α,β)也构成一个欧氏空间。注意：由于对Vα·βV,未必有(α,β)=(α,β)所以1），2）是两种不同的内积从而Rn对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间
§9.1 定义与基本性质 2）定义 1 1 2 2 ( , ) 2 k k n n = + + + + + a b a b ka b na b 从而 对于内积 也构成一个欧氏空间. n R ( , ) 由于对 V, 未必有 ( , ) ( , ) 注意： = 所以1），2）是两种不同的内积. 从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间. n R 易证 ( , ) 满足定义中的性质 ～ . 1 4 所以 ( , ) 也为内积.
西要毛子科技大学=KIDIANUNIVERSITY例2.C(a,b)为闭区间[a,b] 上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数 f(x),g(x)，定义(f,g) = [" f(x)g(x) dx(2)则C(a,b)对于（2）作成一个欧氏空间。证: V f(x), g(x), h(x)eC(a,b), Vke R1. (f,g) = J" f(x)g(x) dx = J' g(x)f(x) dx =(g, J)2. (kf,g)= [' kf(x)g(x) dx =kf" f(x)g(x) dx= k(f,g)
§9.1 定义与基本性质 例2．C a b ( , ) 为闭区间 [ , ] a b 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f x g x ( ), ( ) ，定义 ( , ) ( ) ( ) b a f g f x g x dx = （2） 则 C a b ( , ) 对于（2）作成一个欧氏空间. 证： f x g x h x C a b k R ( ), ( ), ( ) ( , ), 1 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) b b a a f g f x g x dx g x f x dx g f === 2 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a k f g k f x g x dx k f x g x dx = = = k f g ( , )
西安毛子科技大学YIDIANINIVERSIT3°. (f + g,h) ={'(f(x)+ g(x)h(x) dx= ' f(x)h(x) dx+ ' g(x)h(x) dx=(f,h)+(g,h)4. (f,J)=f"' f"(x) dx:: (f,f)≥0.: f(x)≥0,且若 f(x)±0， 则 f2(x)>0， 从而 (f,J)>0.故(f,J)=0f(x)=0.因此，（f,g)为内积，C(a,b)为欧氏空间
§9.1 定义与基本性质 3 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a f g h f x g x h x dx + = + ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a = + f x h x dx g x h x dx = + ( , ) ( , ) f h g h 2 4 . ( , ) ( ) b a f f f x dx = 2 f x( ) 0, ( , ) 0. f f 且若 f x( ) 0, 则 2 f x( ) 0, 从而 ( , ) 0. f f 故 ( , ) 0 ( ) 0. f f f x = = 因此， 为内积， 为欧氏空间. ( , ) f g C a b ( , )
西要毛子科技大学三XIDIAN UNIVERSITY2.内积的简单性质V为欧氏空间，Vα,β,V,VkR1) (α,kβ)=k(α,β), (kα,kβ)=k'(α,β)2) (α,β+)=(α,β)+(α,r)推广：(α,β,)=(α,β,)i=1i=13)(0,β)= 0
§9.1 定义与基本性质 ( ) 2 1) ( , ) ( , ), , ( , ) k k k k k = = 2) ( , ) ( , ) ( , ) + = + 推广： 1 1 ( , ) ( , ) s s i i i i = = = 3) (0, ) 0 = 2. 内积的简单性质 V为欧氏空间， , , , V k R
西要毛子律技大學XIDIANUNIVERSITY二、欧氏空间中向量的长度1．引入长度概念的可能性1）在R向量α的长度（模）α=α·α，2)欧氏空间V中，Vα,V，(α,α)≥0使得α.α有意义.2．向量长度的定义Vα,V，α=/(α,α)称为向量α的长度特别地，当α=1时，称α为单位向量
§9.1 定义与基本性质 2) 欧氏空间V中， , , ( , ) 0 V 使得 有意义. 二、欧氏空间中向量的长度 1. 引入长度概念的可能性 1）在 向量 的长度（模） = . 3 R 2. 向量长度的定义 = , , ( , ) V 称为向量 的长度. 特别地，当 = 1时，称 为单位向量