江画工太猩院 常用函数的麦克劳林公式 2n+1 snx=x-— (2n+1t+(x2m2 2n cosr= 5 式x +…+(-1)”+0(x2+1 2!4!6 (2n) xxx n(1+x)=x 1),+0(x“) 23 n1+1 1+x+x2+…+x"+0(x") mum (1+x)"=1+mx+ m(m-1)…(m-n+1) + x"to(x n
江西理工大学理学院 常用函数的麦克劳林公式 ( ) ( 2 1)! ( 1 ) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x L ( ) ( 2 )! ( 1 ) 2! 4! 6! cos 1 2 1 2 4 6 2 + = − + − + + − + n n n o x n x x x x x L ( ) 1 ( 1 ) 2 3 ln( 1 ) 1 2 3 1 + + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x L 1 ( ) 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − L ( ) ! ( 1 ) ( 1 ) 2! ( 1 ) ( 1 ) 1 2 n n m x o x n m m m n x m m x mx + − − + + + − + = + + L L
江画工太猩院 e tacos x-3 例2计算lim r→0 解:e=1+x2+x4+o(x) coSx= te y +0(x·) 2!4! e+2c0x-3=(+2·,)x2+o(x) 7 x+0(x 原式=im1 x→0
江西理工大学理学院 例 2 计算 4 0 2cos 3 lim 2 x e x x x + − → . 解 ( ) 2 ! 1 1 2 4 4 2 e x x o x x Q = + + + ( ) 2! 4! cos 1 4 2 4 o x x x x = − + + ) ( ) 4 ! 1 2 2 ! 1 2cos 3 ( 4 4 2 e x x o x x ∴ + − = + ⋅ + 4 4 4 0 ( ) 12 7 lim x x o x x + = → 原式 . 12 7 =
江画工太猩院 五、函数单调性的判别法 v=f(r) B 0 a 6 x bx f(x)≥0 ∫(x)≤0 定理设函数y=/(x)在a,b上连续,在(a,b内可 导()如果在(a,b内f(x)≥(>)0,那末函数y=f(x) 在a,b上(严格)单调增加;(2)如果在(a,b)内 f(x)≤(<),那末函数y=f(x)在|a,上(严格) 单调减少
江西理工大学理学院 五、函数单调性的判别法 x y o y = f ( x ) x y o y = f ( x ) a b A B f ′( x ) ≥ 0 f ′( x ) ≤ 0 定理 . ( ) ( ) 0 ( ) [ , ] [ , ] ( 2 ) ( , ) . 1 ( , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) 单调减少 ，那末函数 在 上（严格） 在 上（严格）单调增加； 如果在 内 导 （ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内可 f x y f x a b a b a b a b f x y f x y f x a b a b ′ ≤ < = ′ ≥ > = = a b B A
江画工太猩院 证Vx1,x2∈(a,b),且x1<x2,应用拉氏定理得 ∫(x2)-f(x)=f()(x2-x)(x1<5<x2) x2-x1>0, 若在(n.呐,f(x)2(>0,则f()≥(> ∴∫(x2)≥(>)(x1 ∴y=f(x)在[a,b上(严格)单调增加 若在(a,b,f(x)≤(<0,则∫()≤(<)0, ∫(x2)s(<)f(x1) y=f(x)在a,b上(严格)单调减少
江西理工大学理学院 证 , ( , ), 1 2 ∀ x x ∈ a b , 1 2 且 x < x 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 f x − f x = f ′ ξ x − x x < ξ < x 0, Q x2 − x1 > 若在(a,b)内，f ′(x) ≥ (>)0, 则 f ′(ξ ) ≥ (>)0, ( ) ( ) ( ). 2 1 ∴ f x ≥ > f x ∴ y = f ( x)在[a,b]上(严格)单调增加 . 若在(a,b)内，f ′(x) ≤ (<)0, 则 f ′(ξ ) ≤ (<)0, ( ) ( ) ( ). 2 1 ∴ f x ≤ < f x ∴ y = f ( x)在[a,b]上(严格)单调减少