江画工太猩院 R(xf%(x-x)在x与x之间) 1+ 拉格朗日形式的余项 (n+1) IRIX n+1 M n+1 F-x 0 X-x 及lim R, (x) xxo(x一 n 即Rn(x)=o(x-x0)皮亚诺形式的余项 f(x)=∑ n∫(x(x)+o(x-x) k=0
江西理工大学理学院 拉格朗日形式的余项 ( ) ( ) 1 0 1 0 ( 1 ) ( ) 1 ! ( ) 1 ! ( ) ( ) + + + − + − ≤ + = n n n n x x n M x x n f R x ξ ( ) [( ) ] ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) k n n k k x x o x x k f x ∴ f x = ∑ − + − = ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在 x 与 x之间 n f R x n n n ξ ξ + + − + = 皮亚诺形式的余项 0 ( ) ( ) lim 0 0 = → − n n x x x x R x 及 ( ) [( ) ]. 0 n 即 R n x = o x − x
江画工太猩院 注意 1.当n=0时,泰勒公式变成拉氏中值公式 f(x)=f(x1)+f(5)(x-x)(点在x与x之间) 2.取xn=0, 在0与x之间,令2=tx(0<0<1) 则余项Rn(x)= f(a (n+1)
江西理工大学理学院 注意: 1. 当n = 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式 ( ) ( ) ( )( ) ( ) f x = f x0 + f ′ ξ x − x0 ξ在x0与x之间 2.取 0 x0 = , ξ 在0与x之间,令ξ = θx (0 < θ < 1) 则余项 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) + + + = n n n x n f x R x θ
江画工太猩院 麦克劳林(Ma mclaurin )公式 (n) f(x)=f0)+f0)x+x2+…+ 2 r(n+1) () x"tl (0<6<1 (n+1) (n) ∫(x)=f(0)+f(0)x+x2+…+ n +ol
江西理工大学理学院 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n O x x n f x f f x f f x + + + ′′ = + ′ + L (0 1) ( 1)! ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) 1 ( 1) ( ) 2 < < + + + + ′′ = + ′ + + + θ θ n n n n x n f x x n f x f f x f f x L 麦克劳林(Maclaurin)公式
江画工太猩院 四、简单的应用 例1求f(x)=的n阶麦克劳林公式 解∵∫(x)=f"(x)=…=f(x)=e, f(0)=f(0)=f"(0)=…=f(0)=1 注意到∫"(ax)=e代入公式得 x e=1+x++…+,+…,x(0<6<1) 2 n!(n+1)
江西理工大学理学院 四、简单的应用 例 1 求 x f (x) = e 的n阶麦克劳林公式. 解 ( ) ( ) ( ) , (n) x Q f ′ x = f ′′ x = L= f x = e (0) (0) (0) (0) 1 ( ) ∴ = ′ = ′′ = = = n f f f L f n x f x eθ θ = + ( ) 注意到 ( 1) 代入公式,得 (0 1). 2! ! ( 1)! 1 1 2 < < + = + + + + + + θ θ n n x x x n e n x x e x L
江画工太猩院 由公式可知e2≈1+x+x+ 估计误差(设x>0) n+1 n+1 x< x n (0<6<1). (n+1) In+ 取x=1,e≈1+1++ 其误差Rn< (n+1)!(n+1)
江西理工大学理学院 由公式可知 2! ! 1 2 n x x e x n x ≈ + + +L+ 估计误差 (设 x > 0) ! 1 2! 1 1, 1 1 n 取x = e ≈ + + +L+ . ( 1)! 3 + < n 其误差 ( + 1)! < n e Rn (0 1). ( 1)! ( 1)! ( ) 1 1 < < + < + = + + θ θ n x n x n x n e x n e R x