例82.2讨论」 dx的敛散性 x 3x3+5x2+2x-1 解因为 lim +3x3+5x2+2x 由于乔峰收敛,所以+3+x+2收敛。 将定理8.2.2中的q(x)取为,就得到如下的 Cauchy判别法 定理8.2.3( Cauchy判别法)设在[a,+∞)c(0,+∞)上恒有 f(x)≥0,K是正常数。 (1)若f(x)≤0,且p1,则∫f(x)dx收敛 若f(x K 且Ps1,则∫f(x)x发散
将定理 8.2.2 中的 ( x) 取为 1 x p ，就得到如下的 Cauchy 判别法： 定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[a, + ) (0, + )上恒有 f (x) 0，K 是正常数。 ⑴ 若 f x K x p ( ) ，且 p 1，则 ( )d a f x x + 收敛； ⑵ 若 f x K x p ( ) ，且 p 1 ，则 ( )d a f x x + 发散。 例 8.2.2 讨论 1 3 4 3 2 1 d 3 5 2 1 x x x x x + + + + − 的敛散性。 解 因为 lim x→+ x x x x x 3 4 3 4 3 2 3 5 2 1 1 + + + − = ， 由于 1 3 4 1 dx x + 收敛，所以 1 3 4 3 2 1 d 3 5 2 1 x x x x x + + + + − 收敛
推论( Cauchy判别法的极限形式)设在[a,+∞)c(0,+∞)上恒有 f(x)≥0,且 lim xf(x)=l, x→)+ (1)若 0≤1<+o 且p>1,则∫f(x)d收敛 (2)若0<1≤+∞,且ps1,则∫f(x)x发散
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在 [a, + ) (0, + ) 上恒有 f (x) 0，且 lim ( ) x p x f x l →+ = ， 则 ⑴ 若0 l + ，且 p 1，则 ( )d a f x x + 收敛； ⑵ 若0 l + ，且 p 1 ，则 ( )d a f x x + 发散