例821讨论2 eoSin dx的敛散性(a是常数)。 解因为当x≥1时有 coS 2xsin x Xix 在例8.1.2中,已知∫x收敛,由比较判别法,∫ +oo cos zxsinx √x+a 对收敛,所以∫ +oo cos 2xsinx dx收敛 x +a 注意:在以上定理中,条件“在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤Ko(x)”, 可以放宽为“存在A≥a,在[A+∞)上恒有0≤f(x)≤K(x)
例 8.2.1 讨论 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a + + 的敛散性（a是常数）。 解 因为当 x 1时有 x a x x cos 2x sin x 1 3 2 + ， 在例 8.1.2 中，已知 1 1 dx x x + 收敛，由比较判别法， 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a + + 绝 对收敛，所以 1 3 2 cos 2 sin d x x x x a + + 收敛。 注意：在以上定理中，条件“在[a, + )上恒有0 f (x) K(x)”， 可以放宽为“存在 A a，在[A,+ )上恒有0 f (x) K(x)
推论(比较判别法的极限形式)设在[a,+∞)上恒有f(x)≥0和 0(x)≥0,且 f(x P(x) (1)若0≤1<+∞,则∫(x减收敛时∫。f(x)dx也收敛 (2)若0<1≤+∞,则∫。(x减发散时∫f(x)dx也发散 所以,当0<1<+0时,∫。(x)dx和∫。f(x)d同时收敛或同时发散
推论（比较判别法的极限形式）设 在 [ , ) a + 上恒有 f x( ) 0 和 (x) 0，且 l x f x x = →+ ( ) ( ) lim ， 则 ⑴ 若0 l + ，则 ( )d a x x + 收敛时 ( )d a f x x + 也收敛； ⑵ 若0 l + ，则 ( )d a x x + 发散时 ( )d a f x x + 也发散。 所以，当 0 + l 时， ( )d a x x + 和 ( )d a f x x + 同时收敛或同时发散
证()若m(x)=1<+,则存在常数A≥a,当x≥A时成立 x→)+ <l+ f(x)<(+1)(x) 于是,由比较判别法,当∫(x)收敛时∫(x)也收敛
证 ⑴ 若 = + →+ l x f x x ( ) ( ) lim ，则存在常数 A a ，当 x A 时成立 1 ( ) ( ) l + x f x ， 即 f (x) (l +1)(x)。 于是，由比较判别法，当 ( )d a x x + 收敛时 ( )d a f x x + 也收敛
证()若m(x)=1<+,则存在常数A≥a,当x≥A时成立 x→)+ <l+ f(x)<(+1)(x) 于是,由比较判别法,当∫(x)收敛时∫(x)也收敛 (2)若mf(x)=1>0,存在常数A≥a,使得当x≥4时成立 x)+0(x) f(x) P(x) 其中0<1<1(当l=+∞时,P可取任意正数)即 f(x)>l9(x) 于是,由比较判别法,当∫(x)发散时∫f(x)x也发散
⑵ 若 0 ( ) ( ) lim = →+ l x f x x ，存在常数 A a ，使得当 x A 时成立 l x f x ( ) ( ) ， 其中0 l l（当l = +时，l 可取任意正数）即 f (x) l(x) 。 于是，由比较判别法，当 ( )d a x x + 发散时 ( )d a f x x + 也发散。 证 ⑴ 若 = + →+ l x f x x ( ) ( ) lim ，则存在常数 A a ，当 x A 时成立 1 ( ) ( ) l + x f x ， 即 f (x) (l +1)(x)。 于是，由比较判别法，当 ( )d a x x + 收敛时 ( )d a f x x + 也收敛
例82.2讨论」 dx的敛散性 x 3x3+5x2+2x-1 解因为 lim +3x3+5x2+2x 由于∫4x收敛,所以「 +∞ dx收敛 x4+3x3+5x2+2x-1
例 8.2.2 讨论 1 3 4 3 2 1 d 3 5 2 1 x x x x x + + + + − 的敛散性。 解 因为 lim x→+ x x x x x 3 4 3 4 3 2 3 5 2 1 1 + + + − = ， 由于 1 3 4 1 dx x + 收敛，所以 1 3 4 3 2 1 d 3 5 2 1 x x x x x + + + + − 收敛