单位向量及n维向量间的夹角 ()当x=1时，称x为单位向量 (2)当x≠0，y川≠0时，0=arccos [,y y 称为n维向量x与y的夹角.0≤O≤π 例 求向量a=(1,2,2,3)与B=(3,1,5,1)的夹角. 解cos0= 182 aB 32.62 ∴.0
单位向量及n维向量间的夹角 例 求向量 = (1,2,2,3)与 = (3,1,5,1)的夹角. 解 cos = 2 2 3 2 6 18 = = . 4 = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( ) x y x y x y , 2 当 0, 0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角 . （0 )
三、正交向量组的概念及求法 1正交的概念 当x,y川=0时，称向量x与y正交 由定义知若x=0,则x与任何向量都正交 2正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组
１ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 三、正交向量组的概念及求法
3 正交向量组的性质 定理1 若n维向量a1,a2,,a,是一组两两正交的 非零向量，则a必，a2,,a,线性无关 证明设有几1,2，，2，使 20%+元22+…+0=0 以a左乘上式两端得21a,a1=0 由a1≠0→a,7a1=a12≠0，从而有2=0. 同理可得人2=…=人，=0.故C1,Q2,,,线性无关
0 0, 2 1 1 1 = 1 T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1 2 r线性无关 证明 设有 1 ,2 , ,r 使 1 1 2 2 r + + + =r 0 以a1 T左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量,则 , , , 线性无关. 定 理 若 维向量 , , , 是一组两两正交的 r n r 1 2 1 2 1
性质2：正交向量组单位化后仍是正交向量组 叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。 如果o?C2…m 是标准正交向量组， a1- (i,手1,2…m》
性质2 : 正交向量组单位化后仍是正交向量组 叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。 如果 1 ， 2 m 是标准正交向量组， i j 1,i=j , 0,i j = 则 （i,j= 1,2 m )