第6页第五章留数及其应用f(z)=c,(z-z)", 0<z-z 8,1ac,(z-zo)",Iz-z8,g(z) =和函数n=0则在|z-z内当z≠z时，f(z)=g(z)；当z=z时，g(zo)=Co.因为 lim f(z)=limg(z)=g(zo)=CoZ→>Z0Z→>Zo若令 f(z)=Co（从新定义）则f(z)在zzks内处处解析,z,就成为解析点这也是称z.为f(z)的可去奇点的原因。结运回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第6页 0 0 0 ( ) ( ) , 0 | | , n n n f z c z z z z d = = - < - < 0 0 0 ( ) ( ) , | | , n n n g z c z z z z d = = - - < 和函数 0 0 若令 f z c ( ) = （从新定义） 0 则在| | z z - < d内 0 当z z f z g z = 时， ( ) ( )； 0 0 0 当z z g z c = = 时， ( ) . 0 0 0 0 z z lim ( ) lim ( ) ( ) z z f z g z g z c → → 因为 = = = 0 0 则f z z z z ( ) | | , 在 - < d内处处解析 就成为解析点, 0 这也是称z f z 为 ( )的可去奇点的原因
第7页第五章留数及其应用极点：展式中仅含有有限多个z-zo负幂项，即2.2XZc,(z-zo)" (c-m ± 0, m ≥ 1),(2) f(z) =n=-m则z称为f(z)的m级极点；特点?etz=0是它的1级极点或者称为单极点7n-et7一2!n!Zn7.L1的极点是z=0和z=1.z2(z-1)结返回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第7页 2.2 极点：展式中仅含有有限多个z-z0负幂项，即 z = 0 1 是它的 级极点或者称为单极点. ( ) ; 则z0 称为f z 的m级极点 特点? 2 1 z z( ) -1 的极点是 (2) ( ) ( ) ( 0, 1), = - 0 - =- f z c z z c m m n m n n . 2! ! 1 1 ! 1 1 0 = = + + ++ + - = n z z n z z z z e n n z n : z e z z z = = 0 1 和
第8页第五章留数及其应用2.3本性奇点：展式中含有无穷多个z-zo负幂项则z.称为f(z)的本性奇点特点?/Z=0是它的本性奇点ezZ72!sin=的本性奇点是z=O.z结回束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第8页 2.3 本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项, z = 0是它的本性奇点. ( ) . 则z0 称为f z 的本性奇点 特点? 1 sin z 的本性奇点是 . ! 1 2! 1 1 1 2 1 = + - + - ++ z -n + n e z z z 1 : z e z = 0
第9页第五章留数及其应用3、函数在孤立奇点的性质性质1（可去奇点的判定定理若z为f()的孤立奇点，则下列条件等价：(i)f(z)在点z的主要部分为零;(c为常数);(ii) lim f(z) = co(ii)f(z)在点z.的某去心邻域内有界证： 只须证(i)(ii),(ii)(iii),(iii)=(i)(i)→ (i): 显然(ii)=(iii)：由极限定义即可(ii)=(i): 设f(z)在点z的某去心邻域O<z-z结回DO束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第9页 3、 函数在孤立奇点的性质 0 ( ) ( ) i f z z 在点 的主要部分为零； 若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价： 0 0 0 ( ) lim ( ) ( ); z z ii f z c c → = 为常数 0 ( ) ( ) . iii f z z 在点 的某去心邻域内有界 性质1（可去奇点的判定定理） 证：只须证 显然 ( ) ( ),( ) ( ),( ) ( ) i ii ii iii iii i ( ) ( ) : i ii ( ) ( ) : ii iii 由极限定义即可 ( ) ( ) : iii i 0 0 设f z z z z ( ) | | 在点 的某去心邻域0 < - < d
第10页第五章留数及其应用内以M为界，f(z)在点z.的主要部分为C*Z-Zo）Z -Z.Z-Zo其中f(z)2 -20 d, n = , ..62元这里C为圆周/z-z=r,0<r<.由于M12元r = Mrn<.一n+12元由于r为任意小的正数，故c-，=0.证毕结回P束
结 束 返回 第五章 留数及其应用 第10页 0 内以M f z z 为界， ( )在点 的主要部分为 1 2 2 0 0 0 , ( ) ( ) n n c c c z z z z z z - - - + + + + - - - 其中 0 这里C z z r r 为圆周| - | , . = < < 0 d 由于 1 1 2 2 | | , n n n M c r Mr r - - + = 0. . n r c 由于 为任意小的正数，故 - = 证毕 1 0 1 1 2 2 ( ) , , , ( ) n n c f z c dz n i z z - - + = = -