陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.4 原函数与不定积分

陕西师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMAINUEZ+Az于是 F(z +△z)-F(z)=f()dg,Z+A2Z+z因为f(z)d =f(z)d5 = f(z)△z,F(z+△z) - F(z)所以- f(z)Azz+Azf()dg-f(z)AzBZ+42Lf()-f(z)]dsSNZZ0

于是 F(z  z)  F(z)  ( )d ,  zz z f     zz z 因为 f (z)d  zz z f (z) d  f (z)z, B z K z  z  0 z  ( ) ( ) ( ) f z z F z z F z      所以 ( )d ( ) 1 f f z z z z z        [ ( ) ( )]d 1 f f z z z z z     

陕西师大學陈数学与信息科学学院SHAANXLNORRAF因为 f(z)在 B内解析，所以 f(z)在 B内连续故V>0,3>0,使得满足-z<S的一切都在K内即△z<时， 总有f(S)-f(z)<,由积分的估值性质F(z+z)-F(z) _fzBAzSZ0

B z K z  z  0 z  因为 f (z)在 B内解析, 所以 f (z)在 B内连续, 故   0,   0, 使得满足   z   的一切 都在 K 内, 即 z  时, 总有 f ( )  f (z)   , 由积分的估值性质, ( ) ( ) ( ) f z z F z z F z     

陕西师大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1NF(z + △z) - F(z)z+Azf(5)-f(z)]d57AzAz f(S)- f(z) /dg≤=8AZAzF(z +△z)- F(z)于是limf(z)= 0,AzAz0[证毕]即 F'(z)=f(z).此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似

( ) ( ) ( ) f z z F z z F z      [ ( ) ( )]d 1 f f z z z z z      | ( ) ( ) | d 1 f f z z z z z      . 1         z z ( ) 0, ( ) ( ) lim 0         f z z F z z F z z 于是 即 F(z)  f (z). 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似. [证毕]