二、函数展开成幂级数 展开方法直接展开法一利用泰勒公式 间接展开法—利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知,函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下: 第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值; 第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R 第三步判别在收敛区间(-R,R)内lmRn(x)是否为 n→>0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f (x)展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1将函数f(x)=e展开成x的幂级数 解:∵∫(m)(x)=ex,f((O)=1(n=0,1,…),故得级数 1+x+-x2+,x+…+—x"+ 其收敛半径为R=linn/(+/s+ n→>0 对任何有限数x,其余项满足 Rn(x)= n+1 n→0 0 (n+1) (n+1) (2在0与x之间) 故 1+x+ —x-+ x1+…,x∈(-∞,+∞) 3! HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) , (n) x f x = e (0) 1 ( 0,1, ), f (n) = n = 1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 e (n +1)! n+1 x x e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n → ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.将f(x)=sinx展开成x的幂级数 解::/((x)=si(x+n:互) f((O) 0 n=2k k (k=0,1,2,…) (-1),n=2k+ 得级数:x-31x2+5 2n-1 2n-1 其收敛半径为R=+∞,对任何有限数x,其余项满足 sin(5+(n+1)分) 7+1 n+1 X Rn(x) n→0 n+1)! 0 n+ n-1 SInX=X +(-1) 2n-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n (0) = (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2 + n + (n +1)! n+1 x n = 2k +1 (k = 0,1, 2, ) 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 + sin x n → n = 2k ( 1) , k − 0 , = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 −+ (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 + 机动 目录 上页 下页 返回 结束