如果L是xoy面上的曲线弧，则定义对弧长的曲线积 分为 ()ds=in>f)Asg →0k=月 如果L是闭曲线，则记为，f(x,y)ds 思考： (I)若在L上fx,1,问ds表示什么？ (2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例？ 否！对弧长的曲线积分要求ds≥0，但定积分中 dx可能为负 下页返回结束
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , k k n k k = f s = → lim ( , ) 1 0 L f (x, y)ds 如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d 表示什么? L s (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负
3.性质 (四J,[afx,)±Bg(c,y]ds =a.fx,)ds±28(x,)d(af为常数 ②jx,d=.xd+2fx,d (L由L1、2组成) (3)若在L上f(x,y)≤g(x,y),则 f(x,y)dss,g(x,y)ds 特别地，有fx)d≤，a ∫ds=s表示曲线的长度
3. 性质 (1) ( , ) ( , ) d L f x y g x y s (α,β 为常数) (2) ( , )d L f x y s ( L 由 L1、L2 组成 ) ( , )d ( , )d L L = f x y s g x y s 1 2 ( , )d ( , )d L L = + f x y s f x y s (3) ( , ) ( , ) ( , )d ( , )d L L L f x y g x y f x y s g x y s 若在 上 ，则 d L s s = 表示曲线的长度
二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路：求曲线积分 转化 ,计算定积分 定理：设f(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t),y=yt)(a≤t≤B) 上的连续函数，则曲线积分∫，∫(x,y)d存在，且 x)ds=jo.w小p2)+w)dt 证：根据定义 jx月ds=m∑5a,n:A4 下页返回结束
= + f x y ds f t t t t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 k k n k k = f s = → lim ( , ) 1 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设各分点对应参数为tk(k=0,1,.,n), 点(5k,k对应参数为tk∈[tk-1,tk], 2()2()dr Vo()+2(以)Mk,东∈[-1， 则f(cx,)ds =gm∑/九0(e1p严)+w产)N 注意√p2(0+2(t)连续 lim ∑fIp(k),y(k)]V2(k)+y(k)△x 元→0k
点 ( , ) k k s t t t k k t t k ( ) ( ) d 1 2 2 − = + ( ) ( ) , 2 2 k k k = + t = → = n k 1 0 lim [ ( ), ( )] k k f 注意 2 (t) + 2 (t)连续 设各分点对应参数为 对应参数为 则 = → = n k 1 0 lim [ ( ), ( )] k k f 机动 目录 上页 下页 返回 结束