S4.1中值定理应注意的问题定理的三个条件缺一不可，否则结论不成立！yVVhx00x0x不连续不可微f(a)#f(b)
定理的三个条件缺一不可，否则结论不成立! 应注意的问题 。 x y o 1 x y o x y h o 不连续 不可微 f(a)≠f(b) §4.1 中值定理
例2 2设 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4), 求 f(x)有几个实根，并指出各自所在的区间解 f(1) =f(2) =f(3) =f(4) = 0显然,f(x)在[1,2],[2,3],[3,4]上满足罗尔定理所以，存在 E(1,2),使得f()= 0存在 52 E(2, 3), 使得 f(2) = 0存在 E(3, 4), 使得 f() = 0而 f(x)是三次多项式，所以只有这三个根elolololg小结与作业罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理思考与练习目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 小结与作业 思考与练习 设 f (x) = (x－1)(x－2)(x－3)(x－4), 求 f (x) 有几个实根, 并指出各自所在的区间. 解 f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0 存在 3 (3, 4), 使得 f (3) = 0 所以, 而 f (x) 是三次多项式, 所以只有这三个根. 存在 1 (1, 2), 使得 f (1) = 0 存在 2 (2, 3), 使得 f (2) = 0 显然 f(x) 在 [1, 2], [2, 3], [3, 4] 上满足罗尔定理. 例2
例3 设f(x)在[0,1] 上可导,f(1)=0,证明至少存在一点三满足f()+≤f'()=0证 设 F(x)=xf(x)那么(1) F(x)在[0,1] 上连续;(2) F(x) 在(0, 1) 内可导;(3) F(0) = F(1) = 0;即,F(x) 在[0,1] 上满足罗尔定理所以，存在 E (0,1) 满足条件
设 f(x) 在 [0, 1] 上可导, f(1) = 0, 证明 至少存在一点 满足 证 (3) F(0) = F(1) = 0; (2) F(x) 在 (0, 1) 内可导; 设 F(x) = xf(x) 那么 (1) F(x) 在 [0, 1] 上连续; 即, F(x) 在 [0, 1] 上满足罗尔定理. 所以, 存在 (0, 1) 满足条件. 例3
练习1.设函数f(x),g(x)在[a,bl上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明至少存在一点e(a,b)，使得F(x) = f(x)e8(x)(1) (5)+f(5)g(5)=0F(x)= f(x)ex(2) f()+^f()= 02.设函数f(）在[0,11上连续，开区间（0,1)内可导，并且f（1）=0，k为正整数，证明存在EE(O,1)使得f'()+kf()=0。F(x)= xhf(x)
练习 ( ) ( ) k F x x f x ( ) ( ) ( ) g x F x f x e ( ) ( ) x F x f x e