例11设n阶方阵A满足A2-A-2E=0,求证A可逆 并求A1 证由A2-A-2E=0,得:A(A-E)=2E, A-E A E 2 从而A可逆且A1A-E 例12设A,B为同阶方阵且满足A+B=AB,求证A-E 可逆并进一步证明AB=BA
. 02 11 1 2 − =−− A EAAAn A 并求 设例 阶方阵 满足 ，求证 可逆 ,2)(02 2 由证 EAA =−− ，得： =− EEAA 即 . 2 E EA A = − ⋅ . 2 1 EA AA − = 从而 可逆且 − . 12 BAAB A, B ABBA EA = = − 可逆并进一步证明 设例 为同阶方阵且满足 ＋ ，求证
证因为A=AB-B=(A-E)B,故 (A-E)+E=(A-E)B, 从而有 (A-E)(A+E)=E, 即A-E可逆且(A-E)=B-E.故 (A-E)(B-E)=(B-E)(A-E AB-A-B+E=BA-A-B+e 从而AB=BA
证 因为 = − = − )( BEABABA ，故 − + = − BEAEEA ,)()( 从而有 − + = EEAEA ,))(( 即 − EA 可逆且 −1 −=− EBEA .)( 故 − − = − − EAEBEBEA ),)(())(( 即 − − + = − − + EBABAEBAAB , 从而 = BAAB