第8章格与布尔代数 (2)证明Va,beX,a个b是集合a,b的最大下界。因为 (a∧b)∧a=a∧b和(a∧b)个b=a∧b 所以a∧b≤a且a∧b≤b,即a个b是a,b的下界。 下证a∧b是{a,b}的最大下界。 设c是{a,b的任一下界，即c≤a,c<b,那么有 c∧a=c,c∧b=c 而 c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c 所以 c≤a∧b,即a∧b是a,b的最大下界。 (3)证明a∧b=a的充分必要条件是aVb=b 设a个b=a,由吸收率可得 aVb=(a∧b)Vb=bV(b∧a)=b,即aVb=b 设aVb=b,由吸收率可得 a∧b=a∧(aVb)=a,即a∧b=a
第8章 格与布尔代数 ⑵证明a,bX，a∧b是集合a,b的最大下界。因为 (a∧b)∧a=a∧b和(a∧b)∧b=a∧b 所以a∧b≼a且a∧b≼b，即a∧b是a,b的下界。 下证a∧b是a,b的最大下界。 设c是a,b的任一下界，即c≼a，c≼b，那么有 c∧a=c，c∧b=c 而 c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c 所以 c≼a∧b，即a∧b是a,b的最大下界。 ⑶ 证明a∧b=a的充分必要条件是a∨b= b 设a∧b=a，由吸收率可得 a∨b=(a∧b)∨b=b∨(b∧a)=b，即a∨b= b 设a∨b=b，由吸收率可得 a∧b=a∧(a∨b)=a，即a∧b=a
第8章格与布尔代数 (4)证明a,beX,aVb是集合a,b}的最小上界。 根据(3)，偏序关系≤可以等价的定义为： ≤=<a,b>a,beX且aVb=b}, 用这个定义和类似于(2)的方法可以证明aVb是集合a,b的 最小上界。 因此，<X,≤>构成一个格。 根据定理8.1.3，可以给出格的另一个等价定义。 定义8.1.4设<X*,>是代数系统，其中*和都是二元运 算，如果*和在X上封闭且满足交换律、结合律和吸收律， 则称<X,*,>为格。 根据定义8.1.4和定理8.1.1，格<X,≤>导出的代数系统 <X,V,∧>是格，以后不再区分偏序集定义的格和代数系统 定义的格，统称为格
第8章 格与布尔代数 ⑷ 证明a,bX，a∨b是集合a,b的最小上界。 根据⑶，偏序关系≼可以等价的定义为： ≼=a,b|a,bX且a∨b=b， 用这个定义和类似于⑵的方法可以证明a∨b是集合a,b的 最小上界。 因此，X,≼构成一个格。 根据定理8.1.3，可以给出格的另一个等价定义。 定义8.1.4 设X, * , ∘是代数系统，其中*和∘都是二元运 算，如果*和∘在X上封闭且满足交换律、结合律和吸收律， 则称X, * , ∘为格。 根据定义8.1.4和定理8.1.1，格X,≼导出的代数系统 X,∨,∧是格，以后不再区分偏序集定义的格和代数系统 定义的格，统称为格
第8章格与布尔代数 定理8.1.4设<X,≤>是格，V是X上的并运算，∧是X上 的交运算。则Ha,beX有 (1)a≤b当且仅当a个b=a (2)a≤b当且仅当aVb=b 证明：(1)设a≤b,下证a∧b=a 由a≤a且a≤b知a是集合a,b的下界，故有a≤a个b;另 方面，由于a个b是a,b}的最大下界，所以是{a,b的下界， 即a∧b≤a。根据偏序关系的反对称性得a∧b=a 设a∧b=a,下证a≤b a=a个b≤b,即a≤b (2)可类似(1)进行证明
第8章 格与布尔代数 定理8.1.4 设X,≼是格，∨是X上的并运算，∧是X上 的交运算。则a,bX有 ⑴ a≼b当且仅当a∧b=a ⑵ a≼b当且仅当a∨b=b 证明：⑴ 设a≼b，下证a∧b=a 由a≼a且a≼b知a是集合a,b的下界，故有a≼a∧b；另 一方面，由于a∧b是a,b的最大下界，所以是a,b的下界， 即a∧b≼a。根据偏序关系的反对称性得a∧b=a 设a∧b=a，下证a≼b a=a∧b≼b，即a≼b ⑵ 可类似⑴进行证明
第8章 格与布尔代数 定理8.1.5设<X,≤>是格，V是X上的并运算，∧是X上 的交运算。Ha,b,c,deX,若a≤b且c≤d,则aVc≤bVd, a∧c≤b∧d 证明：a≤b≤bVd,c≤d≤bVd,因此aVc≤bVd 类似的可以证明a个c≤b∧d 定理8.1.6设<X,≤>是格，V是X上的并运算，∧是X上 的交运算。则Ha,b,ceX有 (I)aV(b∧c)≤(aVb)∧(aVc) (2)(a∧b)V(a∧c)≤a∧(bVc) 证明：(1)根据定理8.1.5，由a≤a和b个c≤b得 aV(b∧c)≤aVb 又由a≤a且b∧c≤c得 aV(b∧c)≤aVc 从而得到 aV(b∧c)≤(aVb)∧(aVc) 利用对偶原理，即得(2)。 般地说，格中的V和∧并不满足分配律
第8章 格与布尔代数 定理8.1.5 设X,≼是格，∨是X上的并运算，∧是X上 的交运算。a,b,c,dX，若a≼b且c≼d，则a∨c≼b∨d， a∧c≼b∧d 证明： a≼b≼b∨d ，c≼d≼b∨d，因此a∨c≼b∨d 类似的可以证明a∧c≼b∧d 定理8.1.6 设X,≼是格，∨是X上的并运算，∧是X上 的交运算。则a,b,cX有 ⑴ a∨(b∧c) ≼ (a∨b)∧(a∨c) ⑵ (a∧b)∨(a∧c) ≼ a∧(b∨c) 证明：⑴ 根据定理8.1.5，由a≼a和b∧c≼b得 a∨(b∧c)≼a∨b 又由a≼a且b∧c≼c得 a∨(b∧c)≼a∨c 从而得到 a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c) 利用对偶原理，即得⑵。 一般地说，格中的∨和∧并不满足分配律
第8章格与布尔代数 8.1.2子格和格的同态 定义8.1.5设<X,V,个>是格，B是X的非空子集，如果B 关于运算V和∧也构成格，则称<B,V,个>是<X,V,∧>的子 格。 在例8.1中，令B,=1,2,3,6},B2=2,4,6,12},则 <B1,V,∧>和<B2,V,∧>是格<S12,V,∧>的子格。 令B3=1,2,3,12,由于2V3=6,而6EB3,所以 <B3,V,∧>不是格<S12,V,∧>的子格。 以下定义格的同态。 定义8.1.6设<X1,V1,个>和<X,V2,∧2>是格， 其中V, ∧1，V,和∧，都是二元运算。是从X到X,的一个映射，对任 意的a,beX有aVb)=孔aVb), a∧，b)=a∧b) 则称f是格<X,V1,入>到格<X2,V2,∧>的格同态。如果是 单射、满射和双射，分别称是格单同态、格满同态和格同 构。称<X),V2,∧2>是<X1,V1,人≥的格同态像
第8章 格与布尔代数 8.1.2子格和格的同态 定义8.1.5 设X,∨,∧是格，B是X的非空子集，如果B 关于运算∨和∧也构成格，则称B,∨,∧是X,∨,∧的子 格。 在例8.1中，令B1 ＝1,2,3,6，B2 ＝2,4,6,12，则 B1 ,∨,∧和B2 ,∨,∧是格S12,∨,∧的子格。 令B3 ＝1,2,3,12，由于2∨3=6，而6B3，所以 B3 ,∨,∧不是格S12,∨,∧的子格。 以下定义格的同态。 定义8.1.6 设X1 ,∨1 ,∧1 和X2 ,∨2 ,∧2 是格，其中∨1 , ∧1 ,∨2和∧2都是二元运算。f是从X1到X2的一个映射，对任 意的a,bX1有f(a∨1 b)=f(a)∨2 f(b)， f(a∧1 b)=f(a)∧2 f(b) 则称f是格X1 ,∨1 ,∧1 到格X2 ,∨2 ,∧2 的格同态。如果f是 单射、满射和双射，分别称f是格单同态、格满同态和格同 构。称f(X1 ),∨2 ,∧2 是X1 ,∨1 ,∧1 的格同态像