第4讲导数与微分及其应用李海玲山东理工大学
第4讲 导数与微分及其应用 山东理工大学 李海玲
导数定义适用的问题计算一元函数导数的注意事项二三高阶导数的求法四五六微分中值定理与中值命题函数的单调性、极值与最值图形的凹凸性与分析作图法
l 一、导数定义适用的问题 l 二、计算一元函数导数的注意事项 l 三、高阶导数的求法 l 四、微分中值定理与中值命题 l 五、函数的单调性、极值与最值 l 六、图形的凹凸性与分析作图法
导数的定义式适用问题1、导数的定义式适用问题f(x, +D)- f()f(x.+h)- f)DylimJlimlimfx=hDxHRODXRODxRoDxF(x + Dx)- f(x) = f4x)lim左导数DxDxR 0f(x, + Dx)- f(x)= fdxo)lim右导数DxDxRo+定理[函数f(x)在xo处可导的充要条件是它在xo的左、右导数存在且相等
一、导数的定义式适用问题 1、导数的定义式适用问题 左导数 右导数
一、导数的定义式适用问题通常用到导数的定义来求解的问题：抽象函数可导性与可微性的判定与计算分段函数分界点可导性的判定与导数的计算绝对值函数的可导性的讨论当已知中没有可导条件，需要用到导数结论复杂函数求一点处的导数值计算极限初等函数在定义区间内连续、可导函数一点处的连续性与可导性与该点邻域内的连续性与可导性无关
一、导数的定义式适用问题 通常用到导数的定义来求解的问题： l 抽象函数可导性与可微性的判定与计算 l 分段函数分界点可导性的判定与导数的计算 l 绝对值函数的可导性的讨论 l 当已知中没有可导条件，需要用到导数结论 l 复杂函数求一点处的导数值 l 计算极限 l 初等函数在定义区间内连续、可导 l 函数一点处的连续性与可导性与该点邻域内的连续性与可导性无关
导数的定义式适用问题例 1 设f(α)的定义域为(一80,+)，又对任意的α,y E(一80,+)有f(α +y)= f(α)e + f(y)e"证明：若f(α)在α=0处可导，则f(α)在(一oo,十)上可导f(a)e-" + f(Aa)e" -f(α)f(α +△α) -f(α)limlim【提示】：AaAaAa-→0A2-0eAa-1f(△a)f(0 + △α) - f(0)= f(a)+e° limlim+er= f(α) limAaAaAaAa-0Aa0AT-0= f(α) +e"f'(o) = f'(c)例2: 设f(α) = α(α-1)(α - 2) (c 99), 求f'(0)[提示): f(0) = lim f(a) - f(0)-02→0= lim(α - 1)(α - 2).. (α - 99) = -99!F→0
一、导数的定义式适用问题