Hamilton- Cayley定理 m-1)x-+…+a -1)mn-+…+a0) (0) In B(以)s|cp2x-+…+a9am)x-+…+a (n-1) m1x-+…+a)am2-xn1+…+an2)…amnn-+…+am (n-1) (0)y1(0) n 1) (n-1) (0)(0) 2 2 利用矩阵加法的定义A+BΔ(an+b,)将B()分解 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-11
信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 11 Hamilton-Cayley定理 令: 利用矩阵加法的定义 将 分解 + + + + + + + + + + + + + + + + + + = − − − − − − − − − − − − − − − − − − (0) ( 1) 1 (0) 2 ( 1) 1 2 (0) 1 ( 1) 1 1 (0) 2 ( 1) 1 2 (0) 2 2 ( 1) 1 2 2 (0) 2 1 ( 1) 1 2 1 (0) 1 ( 1) 1 1 (0) 1 2 ( 1) 1 1 2 (0) 1 1 ( 1) 1 1 1 ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n B ( ) ij ij A+ B a + b = = − − − − − − − − − − (0) (0) 2 (0) 1 (0) 2 (0) 2 2 (0) 2 1 (0) 1 (0) 1 2 (0) 1 1 0 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 ( 1) 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Bn B B()
Hamilton- Cayley定理 B()=Bn1+x-2Bn-1+…+B B1∈C"(i=1,…n-1) 考察等式B(A)A-A=deM-A)的右边 B()(a-A)=(Bn1+x-Bn=2+…+AB1+B-A) Bn1+2”(Bn2-B-1A)+…+A(B0-B 考察其左边 der-1)/=(x+tA2+·4(-1)ydet1 [(+am-2 I+an1+…+1ax1I+a0 比较两边的系数: B-B, BA=al 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-12
信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 12 Hamilton-Cayley定理 考察等式 的右边： 考察其左边： 比较两边的系数： ( 1, 1) ( ) 1 0 2 1 1 = − = + + + − − − − B C i n B B B B n n i n n n n B()(I − A) = det(I − A)I B B B A B B A B A B I A B B B B I A n n n n n n n n n 2 1 0 1 0 1 1 2 1 0 2 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = + − + + − − − = + + + + − − − − − − − − − I I I I I I A I A A I n n n n n n n n 1 1 0 1 1 0 1 1 [( ] det( ) [( tr ( 1) det ] = + + + + = + + + + − = − + + − − − − − − = − = = − − − − B A I B B A I B I n n n n 0 0 2 1 1 1
Hamilton- Cayley定理 以A,理,…,A,Ⅰ依次右乘这些等式: B B-B, A n-1 Br-24 --B4A A B.,-B.,A ×A B、N2-B,A B-B1A=an-1×A B一风42=an1A BA BoA=ao 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-13
信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 13 Hamilton-Cayley定理 以 依次右乘这些等式： − = − = − = − = = − − − − − − − − B A I B B A I B B A I B B A I B I n n n n n n n n 0 0 0 1 1 3 2 2 2 1 1 1 A A A I n n , , , , −1 I A A A A n n n − − 2 1 − = − = − = − = = − − − − − − − − − − − − − B A I B A B A A B A B A A B A B A A B A A n n n n n n n n n n n n n n n n 0 0 1 2 0 1 2 2 1 2 2 3 1 1 1 1 2 1 + 0 = (A)
Hamilton- Cayley定理的应用 化简矩阵多项式的计算: 当n阶方阵的矩阵多项式f(A)中A的最高次幂超过时,可用多项 式的带余除法,将此矩阵多项式对应的多项式∫(4)表示为φ(λ)= de-)与商8(1)的积再加上余式(x)的形式 f(4)=g(λ)q()+r() degr(n) 那么根据 Hamilton-Cayley定理 f(a)=g(A)P(A)+r(A=r(A 这样可简化f(A)的计算 多项式的带余除法 设f(4),g(4)为任意多项式,g()不恒等于0,则必有两个多项 式q(2)和r(λ),使得 f(4)=q(1)g()+r() 式中r()=0或degr(4)<degg(4) 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-14
信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 14 Hamilton-Cayley定理的应用 – 化简矩阵多项式的计算： • 当n阶方阵的矩阵多项式 中A的最高次幂超过n时，可用多项 式的带余除法，将此矩阵多项式对应的多项式 表示为 与商 的积，再加上余式 的形式： 那么根据Hamilton-Cayley定理 这样可简化 的计算 – 多项式的带余除法 设 ， 为任意多项式， 不恒等于0，则必有两个多项 式 和 ，使得 式中 或 f (A) det(I − A) f () () = g() r() f (A) = g(A)(A) + r(A) = r(A) f () = g()() + r() f (A) f () g() g() q() r() f () = q()g() + r() r() = 0 deg r() deg g() deg r() n
Hamilton- Cayley定理的应用 举例 给出 A 32 02 求 A-A5-1944+28A3+6A-4I 3.A100; f(4)=27-x3-19+28x+6元-4 (4)=de(M-A)=2-42+5-2 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-15
信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 15 Hamilton-Cayley定理的应用 – 举例： 给出： 求 1. ； 2. ； 3. ； − − − − = 1 1 3 2 0 2 3 1 1 A A A 19A 28A 6A 4I 7 5 4 3 − − + + − −1 A 100 A ( ) 19 28 6 4 7 5 4 3 f = − − + + − ( ) det( ) 4 5 2 3 2 = I − A = − + − r()