第四章微分中值定理与泰勒公式 设函数fx)在闭区间0,1上可微,对于[0,1上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1) 内,且∫(x)≠1,证明:在(O,1)内有且仅有一个x,使fx)=x 证明:由条件知0<fx)<1.令F(x)=f(x)-x,于是F(0)>0,F(1)<0, 所以存在ξ∈(0,1),使F()=0.假设存在1,2∈(0,1),不妨假设2<5,满足51)=5,f(2) 52于是1-2=51)-f(2)=f(m)51-52).(2<n<51)所以∫(m)=1,矛盾 设函数1x)在01连续(0,1)内可导,且3[2f(x)=f(0)证明:在O,内存在 个ξ,使f(5)=0 证明:f(0)=3f(x)x=3/(5)(1-2) 3f(51),其中满足<5<1 由罗尔定理,存在ξ,满足0<ξ<51,且f(5)=0 三,设函数fx)在,2]上有二阶导数,且(1)=f(2)=0,又F(x)=(x-1)fx),证明:在(,2)内 至少存在一个,使F'(2)=0 证明:由于F(1)=F(2)=0,所以存在,1<51<2,满足F(1)=0.所以 F(1)=F(51)=0所以存在,满足1<5<5,且F(s)=0 四.设fx)在0,xx>0)上连续,在(0,x)内可导,且f(0)=0,试证:在(0,x)内存在一个ξ,使 f(x)=(1+5)ln(1+x)f(5 证明:令F(0)=f(,G(=1n(1+1),在0,x上使用柯西定理 F(x)-F(0)F(2) G(x)-G(0)G(5)5∈(0,x) 所以_f(x) (1+5)f"(5),即f(x)=(1+5)ln(1+x)f() n(1+x) 设fx)在{a,b上可导,且ab>0,试证:存在一个ξ∈(a,b),使 [n()+5() b-af(a) f(b) 证明:不妨假设a>0,b>0.令F(x)=x"∫(x).在{a,b上使用拉格朗日定理 bf(b)-a"f(a)=[nm1f(2)+5"f()](b-a) 六,设函数x),g(x),h(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,证明:存在一个ξ∈(a,b),使
第四章 微分中值定理与泰勒公式 一. 设函数 f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个 x, 函数 f(x)的值都在开区间(0, 1) 内, 且 xf ≠ 1)(' , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个 x, 使 f(x) = x. 证明: 由条件知 0 < f(x) < 1. 令 F(x) = f (x)－x, 于是 F(0) > 0, F(1) < 0, 所以存在ξ ∈ (0, 1), 使F(ξ) = 0. 假设存在ξ1, ξ2 ∈ (0, 1), 不妨假设ξ2 < ξ1, 满足f(ξ1) = ξ1, f(ξ2) = ξ2. 于是 ξ1－ξ2 = f(ξ1)－f(ξ2) = ))((' η ξ −ξ 21 f . (ξ2 < η < ξ1). 所以 f η = 1)(' , 矛盾. 二. 设函数 f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且 )0()(3 1 3 2 = fdxxf ∫ . 证明: 在(0, 1)内存在一 个 ξ, 使 f ξ = 0)(' . 证明: )() 3 2 1)((3)(3)0( 1 1 1 3 = 2 fdxxff ξ =−= f ξ ∫ , 其中ξ1满足 1 3 2 ξ 1 << . 由罗尔定理, 存在ξ, 满足 0 < ξ < ξ1, 且 f ξ = 0)(' . 三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2 f(x), 证明: 在(1, 2)内 至少存在一个ξ, 使 F ξ = 0)('' . 证 明 : 由 于 F(1) = F(2) = 0, 所以存在 ξ1, 1 < ξ1 < 2, 满 足 0)(' F ξ 1 = . 所 以 0)(')1(' FF ξ 1 == .所以存在ξ, 满足 1 < ξ < ξ1, 且 F ξ = 0)('' . 四. 设 f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且 f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个ξ, 使 xf += ξ + fx ξ )(')1ln()1()( . 证明: 令 F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理 )(' )(' )0()( )0()( ξ ξ G F GxG FxF = − − , ξ ∈ (0, x) 所以 )(')1( )1ln( )( f ξξ x xf += + , 即 xf = + ξ + fx ξ )(')1ln()1()( . 五. 设 f(x)在[a, b]上可导, 且 ab > 0, 试证: 存在一个ξ ∈ (a, b), 使 1 )](')([ )()( 1 − += − n n n fnf bfaf ab ab ξξξξ 证明: 不妨假设 a > 0, b > 0. 令 xfxxF )()( . 在[a, b]上使用拉格朗日定理 n = ))]((')([)()( 1 abffnafabfbn n n n =− + − − ξξξξ 六. 设函数 f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个ξ ∈ (a, b), 使
f(a g(a) h( ∫(b)g(b)h(b)|=0 f"(5)g'(5)h(5 ff(a) g(a) h(a) 证明:令F(x)=f(b)g(b)h(b),则F(a)=f(b)=0,所以存在一个∈(anb,使 f(x)g(x)h(x) f(a g(a) h( F(5)=∫(b)g(b)h(b)=0 f(5)g(5)h( 七设函数fx)在[0,1上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,试证:至少存在一个∈(0,1),使 f'()=2f( 证明:(/"(x)2f(x)f(x)2 ∫(x)1 二边积分可得lnf(xx-1)2=c,所以 f(x)(x-1)2=e) 令F(x)=f(x)(x-1)2.由0)=1)=0知存在n∈0,1),f(n)=0.所以F(n)=F() 0,所以存在ξ∈(n1)F(5)=0.立即可得f=2(5) 八.设(x)在[x1,x]上二阶可导,且0<x1<x2,证明在(x1,x2)内至少存在一个ξ,使 =f(5)-f(5) e-ef(x,)f(2 证明:令F(x)=ef(x),G(x)=e,在[x,x2]上使用柯西定理.在(x,x2)内至少存在 2,满足 F(x2)-F(x1) ∫()-f(5) G(x2)-(x,) el-e f(x, f(x,) 九若x2>0,证明:存在一个∈(x1,x2)或(x2x1),使 (1-5)e(x1-x2) 证明:不妨假设0<x<x令F(x)=,G(x)=-,在图1,对]上使用柯西定理在(x,x) 内至少存在一个ξ,满足 F(x2)-F(x1)x2x15 (x2)-G(x1)1 立即可得x1e2-x2e=(1-5)e(x1-x2)
0 )(')(')(' )()()( )()()( = hgf ξξξ bhbgbf ahagaf 证明: 令 )()()( )()()( )()()( )( xhxgxf bhbgbf ahagaf xF = , 则 F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个ξ ∈ (a, b), 使 0 )(')(')(' )()()( )()()( )(' = = ξξξ ξ hgf bhbgbf ahagaf F 七. 设函数 f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且 f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个ξ ∈ (0, 1), 使 ξ ξ ξ − = 1 )('2 )('' f f 证 明 : ( x xf xf − = 1 )('2 )('' , xxf xf − = 1 2 )(' )('' 二边积分可得 , 所 以 ) =− cxxf 2 )1)(('ln c =− exxf 2 )1)((' 令 . 由 f(0) = f(1) = 0 知存在η ∈ (0, 1), 2 xxfxF −= )1)((')( f η = 0)(' . 所以 F(η) = F(1) = 0, 所以存在 ξ ∈ (η, 1), F ξ = 0)(' . 立即可得 ξ ξ ξ − = 1 )('2 )('' f f 八. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且 0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个ξ, 使 )(')( )()( 1 1 2 1 2 1 2 ff ξξ xfxf ee ee x x xx −= − 证明: 令 , 在[x x x exGxfexF − − = ， )()()( = 1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一 个ξ, 满足 = − − )()( )()( 2 1 2 1 xGxG xFxF )(')( )()( 1 1 2 1 2 1 2 ff ξξ xfxf ee ee x x xx −= − . 九. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个ξ ∈ (x1, x2)或(x2, x1), 使 )()1( 1 2 21 2 1 exex xxe x x −−=− ξ ξ 证明: 不妨假设 0 < x1 < x2. 令 x xG x e xF x 1 = ， )()( = , 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2) 内至少存在一个ξ, 满足 2 2 12 12 2 1 2 1 )()( 111 )()( 2 1 ξ ξ ξ ξξ − − = − − = − − ee xx x e x e xGxG xFxF xx 立即可得 )()1( . 1 2 21 2 1 exex xxe x x −−=− ξ ξ
十.设f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b内可导,且fa)=fb)=0,8(x)≠0,试证:至少存在 个ξ∈(a,b),使 f(5)g(5)=g(5)f(5) 证明:令F(x)=(x),所以F(02=F(b=0由罗尔定理至少存在一个∈(a.b使 F"(5)=0 于是f(5)g()=g(5)f(5) 本期答案由聚焦图书提供,特别感谖
十. 设 f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f(a) = f(b) = 0, g(x) ≠ 0, 试证: 至少存在一 个ξ ∈ (a, b), 使 ξ ξ = ξ fggf ξ )()(')()(' 证明: 令 )( )( )( xg xf xF = , 所以 F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个ξ ∈ (a, b), 使 F ξ = 0)(' , 于是 ξ ξ = ξ fggf ξ )()(')()('