矩阵理论-第十讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004 年 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10-1
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-1 矩阵理论-第十讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年
上节内容回顾 矩阵的幂级数 A∈C ∈C(k=0,1 A 方阵幂级数收敛的判别定理 ak2:收敛半径为r A∈CnN:谱半径为p(A) p(4)<r→∑0ak4绝对收敛 P(A>r ak4发散 V|:Cm→>R 4→∑4绝对收敛m(4)≤| Neumann级数收敛充要条件 ∑收敛→m(4)<1∑4=(1-4) 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲#-2
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-2 上节内容回顾 • 矩阵的幂级数 • 方阵幂级数收敛的判别定理 ：收敛半径为r ：谱半径为 绝对收敛 发散 绝对收敛 – Neumann级数收敛充要条件 收敛 n n A C ( 0,1, ,) k a C k = n n A C 0 k k k a A = 0 k k k a z = ( ) A ( ) A r 0 k k k a A = ( ) A r 0 k k k a A = A r 0 k k k a A = ( ) A A : n n C R + → 0 k k A = ( ) 1 A 1 0 ( ) k k A I A − = = −
上节内容回顾 矩阵函数 收敛的矩阵幂级数∑4在矩阵集合C与C"之间建立了一个 (多对一)映射 f: C n×n n1×n 称之为矩阵函数。此矩阵幂级数的和S为4在映射下的象,记为 S=f(a) 矩阵函数的计算 利用 Hamilton- Cayley定理 利用相似对角化 利用 Jordan标准形 利用矩阵多项式 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10-3
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-3 上节内容回顾 • 矩阵函数 收敛的矩阵幂级数 在矩阵集合 与 之间建立了一个 （多对一）映射 称之为矩阵函数。此矩阵幂级数的和S为A在映射f下的象，记为 • 矩阵函数的计算 – 利用Hamilton-Cayley定理 – 利用相似对角化 – 利用Jordan标准形 – 利用矩阵多项式 : n n n n f C C → S f A = ( ) 0 k k k a A = n n C n n C
矩阵的微分和积分 函数矩阵的微分和积分 A(t=(a, (t)) n×n A(t) A(t)di n1×n 高等数学中函数的和、乘积、复合函数的求导法则适用于函数矩阵的 微分 (A(t)+B()=A(1)+B(1) ()4()(2(0)4()+2( (t)=C (A(O)B()=24()B()+A(2B( A(u)=f(t),4(un) 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第104
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-4 矩阵的微分和积分 – 函数矩阵的微分和积分 – 高等数学中函数的和、乘积、复合函数的求导法则适用于函数矩阵的 微分 ( ) ( ( )) A t a t = ij m n ( ) ( ( )) A t a t ij m n = ( ) ( ( )) ij m n d d A t a t dt dt = ( ) ( ( ) ) b b ij m n a a A t dt a t dt = ( ( ) ( )) ( ) ( ) d d d A t B t A t B t dt dt dt + = + ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d t A t t A t t A t dt dt dt = + ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d A t B t A t B t A t B t dt dt dt = + ( ) ( ) ( ) d d A u f t A u dt du = ( )t C=
矩阵的微分和积分 A(t=(a, (t)) B()=(bn(t) (A(tb(o)) k=1 (an()(t)+a2()b21(1)+…+an(t)bn1(1)m (an()b,()+x(an2(D)b21(t) (ain (t)b, (t) P an1()·b()+.an1()·b1() a1(t)b,(t) ()b,(D)+an1(1)b,()+…+a1(1),b,(1) AO)|B()+A()B( 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10-5
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-5 矩阵的微分和积分 ( ) ( ( )) A t a t = ij m n ( ) ( ( )) B t b t = ij n p 1 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) n ik kj m p k d d A t B t a t b t dt dt = = 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j i j in nj m p i j i j in nj m p i j i j i j d a t b t a t b t a t b t dt d d d a t b t a t b t a t b t dt dt dt d d d a t b t a t b t a t b t dt dt dt = + + + = + + + = + + + 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j i j i j m p d d d a t b t a t b t a t b t dt dt dt + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) d d A t B t A t B t dt dt = +