补充题第一部分(预备知识,群论)解答 补充题第一部分(预备知识)习题解答 补充题:n维殴氏向量空间中有且最多有n+1个互夹钝角的向量
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证 (1)先证存在性。对n作归纳。n=1显然成立 下设n>1由归纳假设,R中有n个互夹钝角的向量 l12 m-1 1,2, 且(a,a1)<0(≠ 在R中取月=(1,a12…,am1,b),=1,2…,n Bn+1=(0,0,…,0-1) 其中0<b< max a,a 则有 月,)<0,1≤t<j≤n+1 (2)再证最多存在n+1个互夹钝角的向量。 对n作归纳法。n=1显然成立。下设n>1 反证法。假设R中有a1,a2…,.an+2互夹钝角,取一组标准正交基61,2…n4 则可设1=(1…,.n,2)=12…,n+1. an+2=(0……,0.1 由a,)<0≠八得<0,∑ bb;(1≤<j≤n+1) 取月=(1,a2…,a121)=12…,n+1 则(只,月) 0(1≤<J≤n+1) 即B1,月2…,B24在R中互夹钝角,与归纳假设矛盾。 存在性证明的直接方法 2 <0,(1≤t<J≤n -1 <0
补充题第一部分(预备知识)习题解答 补充题:证明3维几何空间中正n面体只有5种 证 (1)设面数为n,每面为正m边形,每个顶点与k条边相连 则顶点数为m,边数为,代入欧拉公式 +n=2 k 2 4k 得n 2m+2k-mk (2)求整数解 4k 6-k k=3,n=4;h=4,n=8,k=5,n=20 得 k=3,n=6; 4k 得k=3,n=12 10-3k 4k 6, 无解 ∴n=4,6812,20共五种 补充题第一部分(群论)习题解答 补充题:由两个2阶元生成的有限群同构于K或Dn(n≥3)
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证:设G= O(b 令r=ab,由<∞,可设o(r)=n (1)当n=2,则G={e,a,b,ab}=K4 (2)当n≥3,由于br=bb=(ab)b=rb,因而G可表为 广,b=0 (p()2=n。()=2且bx=3b 补充题第一部分(群论)习题解答 题 (/1n 0±1∈z}是关于矩阵乘法的群证明G可以由两个2阶元生成 (2)两个2阶元生成的无限群同构于G 证 (1)令A B 则o(4)=a(B)= 显然{A,B)G1 1 n 反之,由于AB =R. R AR 0 G C<AB (2)设a=(,b)o(a)=a()=2,|=∞ 令r=ab ar1,G可表为G ∈ 而a1={R”,AR|n∈Z} GEG 补充题第一部分(群论)习题解答 补充题:a,b∈G,ab=ba,(a)=m,O()=n,且<a>∩<b>{e},则o(ab)=m
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证法1:令a(ab)=k,[m,n]=mn(m,n2 由于(ab=a圆b圆m=e 得[m,n 另由(ab)y=ab=e, 得a=bk 由<a>∩<b>={},得 m k, n k, 综上得o(ab)=k=[m,n 证法2:令(ab)=k,d=(m,n),m=m1l,n=n1,(m,n1)=1 由(ab) ba=,得k",kmn 反之,由(ab)=b柳=e→n1k,同理m1|k 可令:k=mn1d1(ab)=ab=e 综上得:k=dmn(mn) 补充题第一部分(群论)习题解答 补充题:证明AtDn三 a∈Zn,b∈Z n≥3 b
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