矩阵理论-第五讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1 矩阵理论-第五讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年
上节内容回顾 Hamilton-Cayley定理 任一方阵都是它的特征多项式的根 多项式的带余除法 方阵的零化多项式 方阵的最小多项式 多项式矩阵的逆、单模矩阵 多项式矩阵的互质性简介 右公因子 左公因子 最大右公因子gcrd gcrd的构造定理 ·多项式矩阵的既约性简介 多项式矩阵的行次数和列次数、行次表示式和列次表示式 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲2
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-2 上节内容回顾 • Hamilton-Cayley定理 – 任一方阵都是它的特征多项式的根 – 多项式的带余除法 • 方阵的零化多项式 • 方阵的最小多项式 • 多项式矩阵的逆、单模矩阵 • 多项式矩阵的互质性简介 – 右公因子 – 左公因子 – 最大右公因子gcrd – gcrd的构造定理 • 多项式矩阵的既约性简介 – 多项式矩阵的行次数和列次数、行次表示式和列次表示式
内积空间 内积空间 设X是实数域或复数域上的线性空间,其中定义了一个二元数值 函数 X×X→>F 满足下列条件:Va,B∈F,Vx,y,z∈X 1.对第一变元的线性: a+,=)=a(x,)+B(y 2.共轭对称性: 3.正定性 (x,x)≥0且(xx)=0分x=0 则称此二元值函数°是X上的内积( Inner product),定义了 内积的空间称为内积空间。F=R时称X为实内积空间,F=C时 称为复内积空间 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3 内积空间 • 内积空间 设X是实数域或复数域上的线性空间，其中定义了一个二元数值 函数 满足下列条件： 1. 对第一变元的线性： 2. 共轭对称性： 3. 正定性： 且 则称此二元值函数 是X上的内积（Inner product），定义了 内积的空间称为内积空间。F = R时称X为实内积空间，F= C时 称X为复内积空间 • , • , F,x, y,z X x + y,z = x,z + y,z x, y = y, x x, x 0 x, x = 0 x = 0 • , • : X X → F
内积空间 由内积的定义:{):XxX→FVa,B∈F,Vx,y∈ 对第一变元的线性 ax+,)=ax2=)+B(y 2.共轭对称性: x,y 3.正定性 (x,x)≥0且(x,x)=0台x=0 中的条件1和2,可得 4.对第二变元的共轭线性 (x,+B)=a(x,y)+B(x,-2) (x,+B)=(ay+,x)=a(y,x)+B(=,x) a(y=)+B(=,x)=a(yx)+B(,x)=a(x,y)+B(x,-) 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲4
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-4 内积空间 由内积的定义： 1. 对第一变元的线性： 2. 共轭对称性： 3. 正定性： 且 中的条件1和2，可得 4. 对第二变元的共轭线性 , F,x, y,z X x + y,z = x,z + y,z x, y = y, x x, x 0 x, x = 0 x = 0 • , • : X X → F x,y + z = x, y + x,z y z z x y x z x x y x z x y z y z x y x z x , , , , , , , , , , = + = + = + + = + = +
内积空间 内积的定义:():X×X→FVa,B∈F,Vxy∈ 对第一变元的线性 ax+,)=ax2=)+B(y 2.共轭对称性: x,y 3.正定性 (x,x)≥0且(x,x)=0分x=0 0,0)=0 由条件1和2,可得 4.对第二变元的共轭线性 由条件1和2,可得 (x,O)=(0,y)2=0 (x0)=(x,x+(-x)=(x,x)-(x,x)=0 (0,y)=(y+(-y)y)=(y,y)-(yy)=0 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲5
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-5 内积空间 内积的定义： 1. 对第一变元的线性： 2. 共轭对称性： 3. 正定性： 且 由条件1和2，可得 4. 对第二变元的共轭线性 由条件1和2，可得 5. , F,x, y,z X x + y,z = x,z + y,z x, y = y, x x, x 0 x, x = 0 x = 0 • , • : X X → F x,0 = 0, y = 0 x,0 = x, x +(−x) = x, x − x, x = 0 0, y = y +(−y), y = y, y − y, y = 0 0,0 = 0