矩阵理论-第六讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1 矩阵理论-第六讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年
上节内容回顾 维复欧氏空间 (酉空间) 完备 Hilber空间 n维复空间Cn n维欧氏空间 内积空间 n维实空间RN了 以 X.x 完备 线性空间 赋予范数 赋范空间 Banach空间 范数在优化问题中的应用 几个重要的不等式 有限维赋范空间的范数特性 内积空间的正交性、构造标准正交向量组的方法 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲2
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-2 上节内容回顾 • 范数在优化问题中的应用 • 几个重要的不等式 • 有限维赋范空间的范数特性 • 内积空间的正交性、构造标准正交向量组的方法 内积空间 赋范空间 Hilbert空间 完备 线性空间 n维实空间Rn = = n i i i x y 1 , n维欧氏空间 n维复空间Cn n维复欧氏空间 （酉空间） = = n i i i x y 1 , Banach空间 完备 x x, x 2 =
标准正交基 Gram- Schmidt正交化定理 设X是内积空间,而{xn:n∈N}是X中线性无关的子集,则存在 标准正交集{enn∈N},使得 Vn∈N,Span{e1,e2,…en}=span{x,x2,…xn} Hilbert空间中完全的标准正交集,称之为标准正交基 标淮准正交集(en}的完全性 标准正交集en}称为是完全的,如果再不能添加元素于其中,使添 加后所得的集合仍是标准正交集。换句话说,假使这样的元素存在 其必为0,即若x∈X,使ve∈{en},(x,e)=0,则必有 举例 R 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3 标准正交基 – Gram-Schmidt正交化定理 设X是内积空间，而 是X中线性无关的子集，则存在 标准正交集 ，使得 – Hilbert空间中完全的标准正交集，称之为标准正交基 • 标准正交集 的完全性 标准正交集 称为是完全的，如果再不能添加元素于其中，使添 加后所得的集合仍是标准正交集。换句话说，假使这样的元素存在， 其必为0，即若 ，使 ， ，则必有 • 举例 {x : n N} n {e : n N} n , span{ , , } span{ , , } 1 2 n 1 2 n n N e e e = x x x xX x = 0 { }n e { }n e { } i n e e x,ei = 0 = 0 1 1 e = 1 0 2 e 2 R
标准正交基 0 0 0 >R或C′ x∈C″,可由C"的标准正交基{en}的线性组合表示,其中对 应于e的系数为 ei x=(x,ei 又,若y∈C"的在同一标准正交基{en}的线性组合表示中,对 应于e的系数为7,则 71 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲4
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-4 标准正交基 或 – ，可由 的标准正交基 的线性组合表示，其中对 应于 的系数为 – 又，若 的在同一标准正交基 的线性组合表示中，对 应于 的系数为 ，则 = 0 0 1 1 e = 0 1 0 2 e n R = 1 0 0 n e n C n C { }n e n xC i e i H i i = e x = x,e T i H i e = e n y C { }n e j e j = = = = = = = = = = n i i i n i i j n j i j n i n j i i j j n j j j n i i i e e x y e e e e 1 1 1 1 1 1 1 , , , ,
标准正交基 x∈Cn,在标准正交基en}的线性组合表示中,对应于e的系 数为5;,则 X.x 2 ∑=52∑"5=)=∑5(e,∑m5) ②n5∑m(e,e)=(②15)=(∑ 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲5
信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-5 标准正交基 – ，在标准正交基 的线性组合表示中，对应于 的系 数为 ，则 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 ( , ) ( ) ( ) , , ( , ) 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 = = = = = = = = = = = = = n i i n i i i n i i j n j i j n i n j i i j j n j j j n i i i e e x x x e e e e n xC { }n e i e i