矩阵理论-第九讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004 年 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9-1
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-1 矩阵理论-第九讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年
上节内容回顾 矩阵的条件数 定义矩阵条件数的工程背景 矩阵的奇异值 矩阵序列 矩阵序列收敛的充分必要条件 A6):A∈CmN",k=0,1,…,} Im A lim A)-A=0 k→> k→∞ 收敛矩阵 A∈C lim 矩阵级数 矩阵级数的绝对收敛的充要条件 k=0 4绝对收敛←V|:Cm→R 1)收敛 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲2
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-2 上节内容回顾 • 矩阵的条件数 – 定义矩阵条件数的工程背景 – 矩阵的奇异值 • 矩阵序列 – 矩阵序列收敛的充分必要条件 – 收敛矩阵 • 矩阵级数 – 矩阵级数的绝对收敛的充要条件 绝对收敛 收敛 ( ) { : , 0,1, ,} k m n A A C k = ( ) lim 0 k k A A → − = ( ) lim k k A A → = : m n C R + k 0 A ( ) k → = lim k k A → = 0 n n A C ( ) 0 k k A =
矩阵的幂级数 矩阵幂级数 设A∈C,ak∈C(k=0,1,…,),称矩阵级数 为矩阵A的幂级数 方阵幂级数收敛的判别定理 若复变数幂级数0a2的收敛半径为,而矩阵A∈Cm的谱半径 为p(A),则 1.当p(4)<r时,方阵幂级数>a4绝对收敛 k=0 2.当p(4)>r时,方阵幂级数∑a4发散 证明 P(a<r 0<r-p(A)=E′,取0< 彐n:Cm→R,使得 An≤p(A)+6 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9计-3
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-3 矩阵的幂级数 – 矩阵幂级数 设 ， ，称矩阵级数 为矩阵A的幂级数 – 方阵幂级数收敛的判别定理 若复变数幂级数 的收敛半径为r，而矩阵 的谱半径 为 ，则 1. 当 时，方阵幂级数 绝对收敛 2. 当 时，方阵幂级数 发散 证明： 1. ，取 ，使得 ( 0,1, ,) k a C k = n n A C 0 k k k a A = 0 k k k a A = 0 k k k a A = 0 k k k a z = n n A C ( ) A ( ) A r ( ) A r ( ) A r 0 ( ) − = r A 0 ( ) A r + : n n m C R + → ( ) m A A r +
矩阵的幂级数 a4|1ssa(p()+8) 由于幂级数 ∑a(()+) 收敛,根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数 绝对收敛 2由于(4)=ma12|,设=max1|,则p(4)=1 当(4)>r时,4|>r 由 Jordan定理,彐P∈C",使得 1o1 P- AP=J (=1or0) 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲4
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-4 矩阵的幂级数 由于幂级数 收敛，根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数 绝对收敛 2. 由于 ，设 ，则 当 时， 由Jordan定理， ，使得 ( ( ) ) k k k k k k k k m m m a A a A a A a A = + 0 ( ( ) )k k k a A = + 0 k k k a A = ( ) max j j A = max l j j = ( ) A = l ( ) A r l r 1 1 1 2 1 ( 1 0) i n n P AP J or − − = = = n n P Cn
矩阵的幂级数 矩阵幂级数 ∑0anJ 的对角线元素为 由于∑a发散,从而矩阵幂级数∑aJ发散 由于矩阵幂级数 PA O k=0 具有相同的敛散性,可知 k=0 v:Cm→R 也发散。 推论 设幂级数∑4=的收敛半径为r,A∈C"。若3:Cm→R 使得|4‖<r,则矩阵幂级数∑a4绝对收敛 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲5
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第9讲-5 矩阵的幂级数 矩阵幂级数 的对角线元素为 由于 发散，从而矩阵幂级数 发散 由于矩阵幂级数 与 具有相同的敛散性，可知 也发散。 – 推论 设幂级数 的收敛半径为r， 。若 使得 ，则矩阵幂级数 绝对收敛 0 k k k a J = 0 ( 1, , ) k k j k a j n = = 0 k k l k a = 0 k k k a J = ( ) 0 k k A = ( ) 0 k k PA Q = 0 k k k a A = 0 k k k a z = : n n C R + → n n A C A r 0 k k k a A = ( ) A A : n n C R + →