第二章矩阵 填空题 1.设ax12ax2ax32a,B均为4维向量,A=[a1,ax2,a3,a],B=[a1a2a3B],且4=2,Bl=3,则 AA-3B 解14-3BF2a1-2a2-23a-3B=-8×1a2a3a-3B =-8x a、P)=-8(4|-3|BD=56 2.若对任意n×1矩阵X,均有AX=0,则A= 解假设A=[a1…an],a是A的列向量对于j=1,2,…,m,令x=1,第/个元 素不为0.所以 an]1=a=0=12,…,m)所以A=0 0 3.设A为m阶方阵,存在非零的m×n矩阵B,使AB=0的充分必要条件是 解.由AB=0,而且B为非零矩阵,所以存在B的某个列向量b为非零列向量,满足Ab=0 即方程组AX=0有非零解.所以=0, 反之:若4=0,则AX=0有非零解.则存在非零矩阵B,满足AB=0 所以,AB=0的充分必要条件是=0 4.设A为n阶矩阵,存在两个不相等的n阶矩阵B,C,使AB=AC的充分条件是 解.B≠C且AB=AC台AB-C)=0且B-C非零剑A=0 b2 a1b1ab2…a1bn 解.:[b2…b] 2b, a2b2 ab. a b 2 b 6.设矩阵A B=A2-3A+2E,则B=
第二章 矩阵 一. 填空题 1. 设a1, a2, a3, a, b均为 4 维向量, A = [a1, a2, a3, a], B = [a1, a2, a3, b], 且|A| = 2, |B| = 3, 则 |A－3B| = ______. 解. | 3 | 2a 2a 2a a 3b A - B = - 1 - 2 - 3 - = 8 a a a a 3b - ¥ 1 2 3 - = a a a a 1 2 3 - 8 ¥ ( - 3a1 a 2 a 3 b ) = - 8(| A | - 3 | B |) = 56 2. 若对任意 n×1 矩阵 X, 均有 AX = 0, 则 A = ______. 解. 假设 [ ] A = a1 L a m , ai 是 A 的列向量. 对于 j = 1, 2, …, m, 令 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È = 0 1 0 M M X j , 第 j 个元 素不为 0. 所以[ ] a1 L a m 0 0 1 0 = = ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È a j M M (j = 1, 2, …, m). 所以 A = 0. 3. 设 A 为 m 阶方阵, 存在非零的 m×n 矩阵 B, 使 AB = 0 的充分必要条件是______. 解. 由 AB = 0, 而且 B 为非零矩阵, 所以存在 B 的某个列向量 bj 为非零列向量, 满足 Abj = 0. 即方程组 AX = 0 有非零解. 所以|A| = 0; 反之: 若|A| = 0, 则 AX = 0 有非零解. 则存在非零矩阵 B, 满足 AB = 0. 所以, AB = 0 的充分必要条件是|A| = 0. 4. 设 A 为 n 阶矩阵, 存在两个不相等的 n 阶矩阵 B, C, 使 AB = AC 的充分条件是______. 解. B ¹ C且AB = AC ¤ A(B - C) = 0 且 B - C非零 ¤ | A | = 0 5. [ ] 1 2 4 2 1 b b b a a a n L M ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È = ______. 解. [ ] ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È = ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a L L L L L L L L M 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 4 2 1 6. 设矩阵 2 1 , 3 2 , 2 3 1 1 - = - + ˙ ˚ ˘ Í Î È - A = B A A E 则B = ______
2323 B=A2-3A+2E=-1-41「3-3 87 69 B1「0110 B|2L-2 7.设n阶矩阵A满足A2+2A+3E=0,则A 解.由A2+2A+3E=0,得A(A+2E)=-3E.所以A‖A+2EF-3E|0,于是A可 逆由A2+2A+3E=0,得A+2E+3A=0,A=-(A+2E) 8.设A=020则(A+3E)(42-9E)= 001 1011「1011「102 解.A2=0201020=040 001001001 A2-9E=0-50 A+3E=050 050:010|→050:010050:010→ 004:00 001:00 010:0 0,(A+3E)=0 0 001 4 1 0 16「-80 20 (A+3E)(A-9E)-0 1
解. = 2 A ˙ ˚ ˘ Í Î È - 2 3 1 1 ˙ ˚ ˘ Í Î È - 2 3 1 1 = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 8 7 1 4 B A 3 A 2 E 2 = - + = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 8 7 1 4 － ˙ ˚ ˘ Í Î È - 6 9 3 3 + ˙ ˚ ˘ Í Î È 0 2 2 0 = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 2 0 2 1 2 1 | | * 1 = = - B B B ˙ ˚ ˘ Í Î È - 2 - 2 0 1 = ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Î È -1 -1 2 1 0 7. 设 n 阶矩阵 A 满足 2 1 2 3 0 , - A + A + E = 则A = ______. 解. 由 2 3 0 , 2 A + A + E = 得 A(A + 2 E) = -3 E . 所以| A || A + 2 E | =| -3 E | ¹ 0 , 于是A可 逆. 由 2 3 0 , 2 A + A + E = 得 ( 2 ) 3 1 2 3 0, 1 1 A + E + A = A = - A + E - - 8. 设 , ( 3 ) ( 9 ) 0 0 1 0 2 0 1 0 1 1 2 A A + E A - E ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È = 则 - =______. 解. = 2 A ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 0 2 0 1 0 1 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 0 2 0 1 0 1 = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 0 4 0 1 0 2 A - 9 E = 2 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - 0 0 8 0 5 0 8 0 2 , A + 3E = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 4 0 5 0 4 0 1 Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 4 0 5 0 4 0 1 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È 4 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 5 0 4 0 1 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - 4 1 0 0 0 1 0 4 1 1 0 0 0 1 0 5 0 4 0 0 M M M ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - 4 1 0 0 0 5 1 0 16 1 0 4 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 M M M , ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - + = - 4 1 0 0 0 5 1 0 16 1 0 4 1 ( 3 ) 1 A E ( 3 ) ( 9 ) 1 2 A + E A - E - = ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - 4 1 0 0 0 5 1 0 16 1 0 4 1 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - 0 0 8 0 5 0 8 0 2 = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - 0 0 2 0 1 0 2 0 1
设A=-2 (-2A) 解.|A|=-3-12+8+8+6-6 2-1-2:010 0-32 2 0→0 0 07 00 333 100 2|→>010 2-5-2|→ 00 001 A A A'=A|A-,(A') (-2A)=-2A|(-2A)=(-2)31A|2=4A 12 [(-2A)']=(4A) A 1 2-1-2 10.设矩阵s1100 则A的逆矩阵A 122
9. 设 , _______, ( ) ______, [( 2 ) ] ______. 4 3 3 2 1 2 1 1 2 1 * 1 * 1 = = - = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - = - - - A 则 A A A 解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 1 Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - 0 0 1 0 1 0 1 0 0 4 3 3 2 1 2 1 1 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - 4 0 1 2 1 0 1 0 0 0 7 5 0 3 2 1 1 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - - - 4 0 1 0 3 1 3 2 1 0 0 0 7 5 3 2 0 1 1 1 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - - - - - 1 3 7 3 2 0 3 1 3 2 0 3 1 3 1 3 1 0 0 3 2 0 1 3 4 1 0 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - - - 1 3 7 3 2 2 5 2 3 9 4 3 1 0 0 0 1 0 1 0 0 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - - - 2 7 3 2 5 2 3 9 4 0 0 1 0 1 0 1 0 0 M M M ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - = - - - - 2 7 3 2 5 2 3 9 4 1 A = = = = - - - | | , | | , ( ) | | * 1 * 1 * 1 A A A A A A A A A ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - 4 3 3 2 1 2 1 1 2 1 1 * 1 3 4 ( 2 ) ( 2 ) | 2 | ( 2 ) ( 2 ) | | - - - = - - = - - = - A A A A A A 4 1 4 [( 2 ) ] (4 ) * 1 1 1 - = = = - - - A A A ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - 4 3 3 2 1 2 1 1 2 10. 设矩阵 ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - = 1 1 1 3 1 2 2 5 1 1 0 0 2 1 0 0 A , 则 A 的逆矩阵 -1 A = ______. 解. ˙ ˚ ˘ Í Î È - - = ˙ ˚ ˘ Í Î È - 1 2 1 1 1 1 2 1 1 , ˙ ˚ ˘ Í Î È - - = ˙ ˚ ˘ Í Î È - 1 2 3 5 1 3 2 5 1
使用分块求逆公式cBL-BCr1B 19-30 -121-1|-12-711 100 所以=/-1200 19-303-5 711-12 单项选择题 1.设A、B为同阶可逆矩阵,则 (A)AB= BA (B)存在可逆矩阵P,使P-1AP=B (C)存在可逆矩阵C,使CAC=B(D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B 解.因为A可逆,存在可逆P4,Q使PAQ4=E 因为B可逆,存在可逆P,Q使PBQB=E 所以PAQ4=PBQ于是PP44QQB=B 令P=PP4,Q=QQ.(D)是答案 A 0 2.设A、B都是n阶可逆矩阵,则2 等于 0B- (A)(-2)2|A‖Br(B)(-2)|A‖Br(C)-2|A‖B|(D)-2|A‖Brl A 0 (-2)2|A|Br1.(A)是答案 0 B 3.设A、B都是n阶方阵,下面结论正确的是 (A)若A、B均可逆,则A+B可逆(B)若A、B均可逆,则AB可逆 (C)若A+B可逆,则A-B可逆 D)若A+B可逆,则A,B均可逆 解.若A、B均可逆,则(AB)=BA1.(B)是答案 4.设n维向量a=(,0,…,0,),矩阵A=E-aa,B=E+2aa其中E为n阶单位 矩阵,则AB= (A)0 (C)E( D)E+a'a
使用分块求逆公式 ˙ ˚ ˘ Í Î È - = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - - - - 1 1 1 1 1 0 0 B CA B A C B A － ˙ ˚ ˘ Í Î È - - ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 1 1 1 2 1 2 3 5 ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 1 2 1 1 = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 7 11 19 30 所以 ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - - - - - = - 7 11 1 2 19 30 3 5 1 2 0 0 1 1 0 0 1 A 二. 单项选择题 1. 设 A、B 为同阶可逆矩阵, 则 (A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵 P, 使 P AP = B -1 (C) 存在可逆矩阵 C, 使C AC B T = (D) 存在可逆矩阵 P 和 Q, 使 PAQ = B 解. 因为 A 可逆, 存在可逆 PA ,Q A 使PA AQ A = E . 因为 B 可逆, 存在可逆 PB , Q B 使PB BQ B = E . 所以 PA AQ A = PB BQ B . 于是 PB PA AQ A Q B = B -1 - 1 令 P PB PA - 1 = , - 1 Q = Q A Q B . (D)是答案. 2. 设 A、B 都是 n 阶可逆矩阵, 则 ˙ ˚ ˘ Í Î È - -1 0 0 2 B A T 等于 (A) 2 1 ( 2 ) | || | - - A B n (B) 1 ( 2 ) | || | - - A B n (C) 2 | A || B | T - (D) 1 2 | || | - - A B 解. 2 1 1 ( 2 ) | || | 0 0 2 - - ˙ = - ˚ ˘ Í Î È - A B B A n T . (A)是答案. 3. 设 A、B 都是 n 阶方阵, 下面结论正确的是 (A) 若 A、B 均可逆, 则 A + B 可逆. (B) 若 A、B 均可逆, 则 AB 可逆. (C) 若 A + B 可逆, 则 A－B 可逆. (D) 若 A + B 可逆, 则 A, B 均可逆. 解. 若 A、B 均可逆, 则 1 1 1 ( ) - - - AB = B A . (B)是答案. 4. 设 n 维向量 ) 2 1 ,0, , 0, 2 1 a = ( L , 矩阵 a a T A = E - , a a T B = E + 2 其中 E 为 n 阶单位 矩阵, 则 AB = (A) 0 (B) －E (C) E (D) a a T E +
ARAB=(E-a'a)(E+2aa)=E-a'a+2a'a-2aaa'a E.(aa=)(C)是答案 010 5.设A P=100,设 有P2P1A=B,则P2= 101 001 解.P1A表示互换A的第一、二行.B表示A先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第 00 行乘以(1)加到第三行.所以P2=010B)是答案 6.设A为n阶可逆矩阵,则(-A)等于 (C)(-1) (D)(-1yh 解(-A)=|-4|(-A)=(-1)”|A|,A=(-1)”1.(D)是答案 7.设n阶矩阵A非奇异(n≥2),A是A的伴随矩阵,则 )(A)=AP-1 )(A=AA (C)(A=A- A (D)(A)=A-A 解.A'=A|A-1 (A=(AA=AA(AA=AJAJA A=A-A (C)是答案 8.设A为m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为n,矩阵B=AC的秩为;则 (A)r>II (B)r< (C)r=n1(D)r与r1的关系依C而定 解.B=Anx2Cnn,r(C)=n,所以 r=r(Acr(A+r(C)-n=r 又因为A=BC-,于是 r(BC-)≥r(B)+r(C-) 所以F1=P(C)是答案
解. AB = ( a a) T E - ( 2 a a) T E + = a a T E - + 2a a T －2a a T a a T = E. ) 2 1 (a a = T (C)是答案. 5. 设 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A , ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - = 31 21 32 22 33 23 11 12 13 21 22 23 a a a a a a a a a a a a B , ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 P1 , 设 有 P2P1A = B, 则 P2 = (A) ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 1 0 1 0 1 0 1 0 0 (B) ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - 1 0 1 0 1 0 1 0 0 (C) ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 0 1 0 1 0 1 (D) ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - 0 0 1 0 1 0 1 0 1 解. P1A 表示互换 A 的第一、二行. B 表示 A 先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一 行乘以(－1)加到第三行. 所以 P2 = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - 1 0 1 0 1 0 1 0 0 .(B)是答案. 6. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 则(－A) *等于 (A) －A * (B) A* (C) (－1)nA * (D) (－1)n－1A * 解. (－A) * = 1 1 1 * ( 1 ) ( 1 ) 1 | A | ( A) ( 1 ) | A | A A - n - n- = - - - - = - . (D)是答案. 7. 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n ³ 2), A*是 A 的伴随矩阵, 则 (A) A A A * * n 1 ( ) | | - = (B) A A A * * n 1 ( ) | | + = (C) A A A * * n 2 ( ) | | - = (D) A A A * * n 2 ( ) | | + = 解. * 1 | | - A = A A A A A A A A A A A A A A A * * 1 * 1 1 1 n 1 1 n 2 ( ) (| | ) || | | (| | ) | | | | | | | | - - - - - - - = = = = (C)是答案. 8. 设 A 为 m×n 矩阵, C 是 n 阶可逆矩阵, 矩阵 A 的秩为 r1, 矩阵 B = AC 的秩为 r, 则 (A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r 与 r1的关系依 C 而定 解. B A C r C n = m¥n n¥ n , ( ) = , 所以 1 r = r(AC) ³ r(A) + r(C) - n = r 又因为 - 1 A = BC , 于是 r = r BC ³ r B + r C - n = r - - ( ) ( ) ( ) 1 1 1 所以 r = r 1 . (C)是答案