兰州大学：《矩阵理论》第八讲 矩阵的条件数

矩阵理论-第八讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004 年 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-1

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-1 矩阵理论-第八讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年

上节内容回顾 Hermite矩阵正定性 0≠x∈C Ax>o 方阵的范数 三角不等式‖4+B≤4+1B 2.绝对齐性 3.正定性 1>0|4=0÷A=0 4.相容性Bs4|B Ar<alm. x 各种矩阵范数 F A maX 与矩阵范数相容的向量范数的存在性 从属于向量范数的矩阵范数 p(A)≤| 矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用P( A)Asup{列:λ∈σ(4)} 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲2

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-2 上节内容回顾 • Hermite矩阵正定性 • 方阵的范数 1. 三角不等式 2. 绝对齐性 3. 正定性 4. 相容性 • 各种矩阵范数 – 1 – – F – 2 – – 1 –、 2 – – 与矩阵范数相容的向量范数的存在性 – 从属于向量范数的矩阵范数 – 矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用 0 H 0 x Ax  n  x C H A A = A B A B +  + A A A  =  = 0 0 0   A A = AB A B   v m v Ax A x   m1 − m − − 0 max v x v Ax A  x = ( ) A A      ( ) sup{ : ( )} A A  

矩阵的条件数 定义矩阵条件数的工程背景 许多工程问题,常常归结为求解矩阵方程 ax=b 由于矩阵A和向量b的元素一般是系统部件(例如电路元件)的参数值, 或系统输岀的观测值,所以不可能没有微小的误差或扰动。 ?数据的误差对于问题的解会产生怎样的影响 ?怎样度量这种影响 ?怎样给出这种误差上界 21.0001八(x,)(50001 20.9999 5.0002 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-3

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-3 矩阵的条件数 • 定义矩阵条件数的工程背景 许多工程问题，常常归结为求解矩阵方程 由于矩阵A和向量b的元素一般是系统部件（例如电路元件）的参数值， 或系统输出的观测值，所以不可能没有微小的误差或扰动。 ？数据的误差对于问题的解会产生怎样的影响 ？怎样度量这种影响 ？怎样给出这种误差上界 Ax b = 1 2 2 1 5 2 1.0001 5.0001 x x             =       1 2 2 1 5 2 0.9999 5.0002 x x             =      

矩阵的条件数 当一个方程组由于初始数据的小扰动而使解严重失真时,称之为病忑 坏条件的)方程组,反之,称之为良态(好条件的)方程组。通常 用方程组系数矩阵A的条件数来刻画方程组的这种性态 cond(4)=1|4r1 > help cond COND Condition number with respect to inversion COND(X returns the 2-norm condition number (the ratio of the largest singular value of X to the smallest). Large condition numbers indicate a nearly singular matrix COND(X, P)returns the condition number of X in P-norm NORMX, P)*NORM(INVOX), P) Where p=1.2 inf or ' fro Question: What is the singular value of a matrix? 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲4

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-4 矩阵的条件数 – 当一个方程组由于初始数据的小扰动而使解严重失真时，称之为病态 （坏条件的）方程组，反之，称之为良态（好条件的）方程组。通常 用方程组系数矩阵A的条件数来刻画方程组的这种性态 >> help cond COND Condition number with respect to inversion. COND(X) returns the 2-norm condition number (the ratio of the largest singular value of X to the smallest). Large condition numbers indicate a nearly singular matrix. COND(X,P) returns the condition number of X in P-norm: NORM(X,P) * NORM(INV(X),P). where P = 1, 2, inf, or 'fro‘ 1 cond( ) A A A− = 

矩阵的奇异值 定义 设A∈Cm(r>0),HA的特征值为 1≥≥… n=0 则称 √( 为A的奇异值 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲5

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-5 矩阵的奇异值 – 定义 设 ， 的特征值为 则称 为A的奇异值 1 2 1 0         = = r r n + ( 0) m n A C r r    H A A ( 1,2, , ) i i   = =i n