Hamilton- Cayley定理的应用 2-2-19+284+6-4 23-42+5元-2 -4x6+525-2x 46-63-17x4+2843+64-4 4 4x6-1625+202-823 1025-3724+363+6-4 102 1025-40x+50x3-202 3x4-1423+202+6-4 31 324-1223+152-62 223+52+124-4 2 223+82-10元+4 商:24+43+102+3元-2 32+222-8 r(4)=-32+222-8 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-16
信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 16 Hamilton-Cayley定理的应用 商： 7 6 5 4 7 5 4 3 4 5 2 19 28 6 4 − + − − − + + − 6 5 4 3 6 5 4 3 4 16 20 8 4 6 17 28 6 4 − + − − − + + − 5 4 3 2 5 4 3 10 40 50 20 10 37 36 6 4 − + − − + + − 3 12 15 6 3 14 20 6 4 4 3 2 4 3 2 − + − − + + − 2 8 10 4 2 5 12 4 3 2 3 2 − + − + − + + − 3 22 8 2 − + − 4 3 2 4 5 2 − + − 2 3 10 4 2 3 − ( ) 3 22 8 2 r = − + − 4 10 3 2 4 3 2 + + + −
Hamilton- Cayley定理的应用 所以: f(a=g(A(A+r(A=r(A 21160 3A2+22A-8=-64430 19-324 第2个问题 (A)=A-442+5A-2I=0 A(A2-2A+1)=1 2 第3个问题 ()=q()g(4)+r(x degr()<3 0()=det(-A)=(2-1)2(2-2) 10=q(4)0()+k12+k2+k3:待定系数法 K,A+k2 A+k3 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-17
信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 17 Hamilton-Cayley定理的应用 所以： 第2个问题 第3个问题 − − − = − + − = = + = 19 3 24 64 43 0 21 16 0 3 22 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 A A I f A g A A r A r A (A) = A − 4A +5A− 2I = 0 3 2 A A − A+ I) = I 2 5 2 2 1 ( 2 −1 f () = q()g() + r() A 100 () = det(I − A) 2 3 2 1 100 = q()() + k + k + k ( 1) ( 2) 2 = − − deg r() 3 A k A k A k I 2 3 2 1 100 = + + ：待定系数法
方阵的零化多项式和最小多项式 方阵的零化多项式 设A∈CM,f(4)是多项式,如果f(A)=0成立,则称∫(4) 为方阵A的零化多项式 (4)=det(-A)是A的零化多项式 f(4)不恒等于零,f(4)(4)是A的零化多项式 方阵的最小多项式 设A∈Cm,在A的零化多项式中,次数最低的首一多项式称为 A的最小多项式,记为m4(4) 设A∈C,M(4)且f(4)=0,m1(4)(4)成立,且m(4) 是唯一的 证明:采用反证法 设∫()是A的任零化多项式,假设mA(4)不能整除f(),则 根据多项式的带余除法 f(=q)m()+r(a) degr(a)<degm,() 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-18
信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 18 方阵的零化多项式和最小多项式 • 方阵的零化多项式 设 ， 是多项式，如果 成立，则称 为方阵A的零化多项式 – 是A的零化多项式 – 不恒等于零， 是A的零化多项式 • 方阵的最小多项式 设 ，在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为 A的最小多项式，记为 – 设 ， 且 ， 成立，且 是唯一的 证明：采用反证法 设 是A的任一零化多项式，假设 不能整除 ，则 根据多项式的带余除法： nxn AC f () f (A) = 0 f () () = det(I − A) f () f ()() nxn AC nxn AC () mA m () f () A f () () mA f () f () q()m () r() = A + deg () deg () mA r f () f (A) = 0 () mA
方阵的零化多项式和最小多项式 f(4)=q(4)m(4)+r(4)degr(1)<degm() 而 f(A)=q(Am4(A)+r(A)=0r(A)=0 degr(a)<degm(n) r(A)是A的最小多项式:与假设矛盾 再证最小多项式的唯一性 假设m(4)≠m(4)也是A的最小多项式 首先,m()m(4)、m(4)m(4)均成立 其次,mA()与m4(4)次数相同,否则其中一个不是最小多项式 因此,mA(4)m:()、m(4)m()的商为常数因子 又因为mA(4)与m4(鄘都是首一的,此常数因子必等于1 所以 m()=m4(4) 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-19
信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 19 方阵的零化多项式和最小多项式 而 是A的最小多项式：与假设矛盾 再证最小多项式的唯一性 假设 也是A的最小多项式 首先， 、 均成立 其次， 与 次数相同，否则其中一个不是最小多项式 因此， 、 的商为常数因子 又因为 与 都是首一的，此常数因子必等于1 所以 f () q()m () r() = A + deg () deg () mA r f (A) = q(A)mA (A)+ r(A) = 0 r(A) = 0 r(A) ( ) ( ) ~ mA mA ( ) ~ mA () mA ( ) ( ) ~ mA mA ( ) ~ mA ()mA ( ) ( ) ~ mA mA ( ) ~ mA ()mA ( ) ( ) ~ mA = mA ( ) ~ mA () mA deg () deg () mA r