第1章习题1.1 1.用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链? 解在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。用笔在纸上画一下,用黑 白两种珠子,分类进行计算:例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2 种,…等等,可得总共8种。 2.对正四面体的顶点用2种颜色着色,有多少种本质上不同的着色方法? 解类似第1题,用枚举法可得5种。 3.有4个顶点的图共有多少个?互不同构的有多少个? 解由本节内容,有4个顶点的图共有64个图。用分类计数的方法可得共有11 个互不同构的图 4.如何用圆规5等分一个圆 解用初等数学的方法求五边形的边长:作一个顶角为36°、腰长为1的等腰三 角形,设底边长为a,则a就是十边形的边长,以a为半径以单位圆周上任意 点为圆心在圆周上交出两点,则这两点之间的距离就是五边形的边长。那么a 怎么求呢?只要在那个等腰三角形上作一条补助线#0;底角的角平分线,再利用 5-1 相似三角形边长成比例的关系,可得2,因而a就可作出了 5.用根式表示3次和4次代数方程的根。 查看数学手册。因公式较复杂,不在这里列出了。 第1章习题1.2 1设4<∞用二项式定理证明24-24 证设油于元子集的个数 所以全部子集的个数(包括空集)为 1+1) 即|24-=2
第 1 章 习题 1.1 1. 用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑 白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2 种，…等等，可得总共 8 种。 2．对正四面体的顶点用 2 种颜色着色，有多少种本质上不同的着色方法？ 解 类似第 1 题，用枚举法可得 5 种。 3. 有 4 个顶点的图共有多少个？互不同构的有多少个？ 解 由本节内容，有 4 个顶点的图共有 64 个图。用分类计数的方法可得共有 11 个互不同构的图。 4. 如何用圆规 5 等分一个圆？ 解 用初等数学的方法求五边形的边长：作一个顶角为 36°、腰长为 1 的等腰三 角形，设底边长为 a，则 a 就是十边形的边长，以 a 为半径以单位圆周上任意一 点为圆心在圆周上交出两点，则这两点之间的距离就是五边形的边长。那么 a 怎么求呢？只要在那个等腰三角形上作一条补助线�底角的角平分线，再利用 相似三角形边长成比例的关系，可得 ，因而 a 就可作出了。 5．用根式表示 3 次和 4 次代数方程的根。 查看数学手册。因公式较复杂，不在这里列出了。 第 1 章 习题 1.2
2一个班有93%的人是团员80%的人担任过社会工作,70%的人受过奖励问 (1)受过奖励的团员至少占百分之几? 2)三者兼而有之的人至少占百分之几? 解设A为团员的集合,B为担任过社会工作的人的集合,C为受过奖励的人 的集合由包含与排斥原理,可得 (A∩C-4+-A∪c293+70-100=63 所以受过奖励的团员至少占63% (2)A∩B∩C-+|+1-AU-Bucl-Aq+ AuBuC 因为-A∪C|+ AUBUC20.所以 1A∩B∩C24+1+(-AUB-Bu293+80+70-100-100=43 故三者兼而有之的人至少占43% 3求不大于1000的正整数中 (1)不能被5,68中任何一个整数整除的个数 (2既非平方数也非立方数的个数 解利用包含与排斥原理 设为不大于100的正整数集合,A为不能被5整除的正整数集合,B为不能被 整除的正整数集合,C为不能被8整除的正整数集合则 1000 1000 =166 =125 并可求出M时-0-31c-101-4ne--23 2n412其3)录小公记号于是得别所的个数为 10001UB∪C-=100014--+∩B+Bc+A∩c|-A∩BnCl 1000-200-166-125+33+41+25-8=600 (2)设A为x中非平方数的集合,B为中非立方数的个数则 4-√1000-3112=31000-10.A∩-9100-3 故得所求的个数为 1000-A∪B2|=1000-31-10+3=962
4设A=m,|-n求 1)4到的的单射有多少个 (2)当m=3,n=2时,A到B的满射有多少个?(对一般情形求满射数的问题可参看6]2.52-53) 解(1)显然当m>x时,不存在A到B的单射当m≤n时,A到单射的个数等于选排列数 M=n(n-1)…(n-m+1) (2)求满射的个数的问题在<组合数学>里讨论如未学组合数学目前只能用玫举法 不难列出所有的满射为 x122小12 内4b2-/=1a2a3 故共有6个 5证明(0,1)与(-∞,+∞)等势 证作映射f:xH血x 可证是单射任取x2x2∈(0,1,由 为=、x2分1万1-x2x1-=x2-xx2→石=2 x1 所以是单射 再证是满射:任取y∈(-∞,+∞),令y=加,可解出x ∈(01)使 f(x)=y,故是满射 综上提是双射因此(0,1)与(-∞,+a)等势 6.f:A→B,S≤A举例说明f[f(∞]-S是否成立? 解不一定成立(意符号的意义) 先看一个反例例如∫:x→x2(R→R) 取S={12,则f()={14.但f[f()={±1,±2)≠S 般的规律是当是单射时,f(]- 证明如下 因为是单射vx∈s如(x)=a,则a的原像x是唯一的因而 f[f(x)]=x,所以f(S)]
7设A<∞,f:A→A证明以下三个命题等价: (1)是单射 (2)是满射 (3)是双射 证用循环证法 (1)→(2):因为是单射且A有限,故有(4-4所以是满射 2)→(3:因为是是满射故有(A=A不妨设令A={12,…,n, 可得{1,2…,}=A 所以12,…互不相同,是单射 (3)→(:显然 8设A≠②,证明不存在A到A的幂集P(A的双射 证用反证法 假设存在A到A的幂集P(A)的双射f:a→f(a)=S∈P(4 取子集T-{x∈Ax≠显然7cA或T=因而T∈F(4 由于是双射,且A≠②,必有b∈A使f(b)==T则 当b∈T时有bg=T,矛盾 当bgT时有b∈S8=7矛盾 得证 第1章习题1.3
第 1 章 习题 1.3
1A={12345在24中定义~8~7兮阳-四 证明~是等价关系,写出等价类和商集 证易证~满足等价关系的三个条件略) 等价类为-,-1{2)3.4),59 12)={12).1313..4.15,{2,3,24,(25)1343{4 123-{123.(124…,34.5) 12,34}={12,34.…{2,345 A-A 商集为2-{22302342 2S={0.1,…,n,:A→秩(A(Mn(R)→S) 求所决定的等价关系等价类和商集 解所决定的等价关系~为A~B台秩(A=秩(B) 等价类为 AeM,(秩(4)=)k=01,…,n 0 商集为23 =0,1,…,2 3在M,(C中定义二元关系~A~B台3P使P1AP=B, 证明~是等价关系,并选等价类的代表元最简单 证易证~满足等价关系的三个条件略) 等价类的代表元可选约当标准形矩阵