兰州大学：《矩阵理论》第四讲 化方阵A为Jordan标准形

Hamilton- Cayley定理 =(PP-P(41)PPP-P(42P-)…(PP-P(2)P P( P(-nDP P. PP(J-2,DP P(J-41)(J-21)…(J-4n)P C 41-1a C 1+1-1 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-6

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 6 Hamilton-Cayley定理 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) − − − − − − − − − − − = − − − = − − − = − − − P J I J I J I P P J I P P J I P P P P J I P PJP P I P PJP P I P PJP P I P n n n                           = n J       2  1                       − − − − − = + − n i i i i i i i J I                  1 1 1 0

Hamilton- Cayley定理 P(J-41)(J-21)…(J-4n)P 02- 0 0 2人00 n-2 1-2 C 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-7

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 7 Hamilton-Cayley定理 1 1 2 ( )( ) ( ) − = P J −  I J −  I  J − n I P 2 1 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −               − −                − −               − − = P P n n n n                            

Hamilton- Cayley定理 1-23 12-13a **水 1A4-23 C P 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-8

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 8 Hamilton-Cayley定理 0          =               − −                  − − −               = 2 −1 1 4 3 2 3 1 3 0 0 0 0 * * 0 0 * 0 0 * * P P n n              

Hamilton- Cayley定理 任一方阵都是它的特征多项式的根 证明 仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义,定乂多项式矩阵的伴随矩阵 设A(4)=((4)∈C f1(4)f21(4)…fm(A) f2(4)f2() (4 fn()f2n(4)…fm(4) 其中:∫(4)是4λ)的行列式的第行第列元素的代数余子式 那么与常数矩阵类似 A()A()=A()A(n)=det a(n) 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-9

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 9 Hamilton-Cayley定理 • 任一方阵都是它的特征多项式的根 – 证明： 仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵： 设 其中： 是 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式， 那么与常数矩阵类似： ( ) * f ij  n n A f ij C  () = ( ()) n n n n n n n n C f f f f f f f f f A                  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 2 * 1 * 2 * 2 2 * 1 2 * 1 * 2 1 * 1 1 *                  A() A( )A ( ) A ( )A( ) det A( )I * *   =   = 

Hamilton- Cayley定理 设B(4)是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵,那么 B(al-A=det(nr-A) de-A)是次数为n的多项式 det(nl-a=2"-(tr A)2+.+(I)"det a 再考察B(4),其每个元素的次数均不超过n-1: (n-1)2n-1 C +……+a0)a(n-)n-1+…+a) II axn)n1+…+aD xn-+…+a (n-)mn-1+…+a B() am)2n-1+…+a0)an"2n+…+a) m-1)-1+…+Om 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-10

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 10 Hamilton-Cayley定理 设 是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么 是次数为n的多项式： 再考察 ，其每个元素的次数均不超过n – 1: B()(I − A) = det(I − A)I B() I A A A n n n det( ) (tr ) ( 1) det 1 − = − + + −    −  det(I − A)               + + + + + + + + + + + + + + + + + + = − − − − − − − − − − − − − − − − − − (0) ( 1) 1 (0) 2 ( 1) 1 2 (0) 1 ( 1) 1 1 (0) 2 ( 1) 1 2 (0) 2 2 ( 1) 1 2 2 (0) 2 1 ( 1) 1 2 1 (0) 1 ( 1) 1 1 (0) 1 2 ( 1) 1 1 2 (0) 1 1 ( 1) 1 1 1 ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n B                                             B()