第七章无穷级数 选择题 1.设α为常数,则级数 ∑ SIn na (A)绝对收敛.(B)发散。(C)条件收敛.①D)敛散性与α取值有关 ih na 解 绝对收敛 发散,所以S|sm in na 1 发散.(B)是答案 2.设Ln=(-1)"ln(1+=),则 (A∑n与∑吃都收敛(∑与∑都发散 (C)∑un收敛,而∑v发散(D)∑u发散,∑收敛 解,由菜布尼兹判别法∑收敛,E吃Cm(+ 因为 ln2(1+ m=1,∑发散,所以∑v发散(C是答案 3.设函数f(x)=x2,0≤x<1,而s(x)=∑ b sin nx,-0<x<+0.其中 bn=2f(x) sin ndx,(n=12,…),则s(-)等于 (A) D)1 解、s(x)=∑bsin,-<x<+是f(x)=x20≤x<1进行奇展拓后展成的富氏级 数.所以s(- -)=-(B)是答案 4.设∑(-1)”an条件收敛,则 (A)∑an收敛,(B)∑an发散,(C)∑(an-an)收敛 (D)∑a2和∑a21都收敛 解因为∑(-1)°an条件收敛,所以lman=0.对于(C)
第七章 无穷级数 一. 选择题 1. 设a为常数, 则级数Â • = ˙ ˚ ˘ Í Î È - 1 2 sin 1 n n n na (A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与a取值有关. 解. Â • =1 2 sin n n na 绝对收敛, Â • =1 1 n n 发散, 所以Â • = ˙ ˚ ˘ Í Î È - 1 2 sin 1 n n n na 发散. (B)是答案 2. 设 ) 1 ( 1 ) ln(1 n u n n = - + , 则 (A) Â • n=1 u n 与Â • =1 2 n u n 都收敛. (B) Â • n=1 u n 与Â • =1 2 n u n 都发散. (C) Â • n=1 u n 收敛, 而Â • =1 2 n u n 发散. (D) Â • n=1 u n 发散, Â • =1 2 n u n 收敛. 解 . 由 莱 布 尼 兹 判 别 法 Â • n=1 u n 收 敛 , Â Â • = • = = + 1 2 1 2 ) 1 ln (1 n n n n u . 因 为 1 ln (1 1 ) lim 2 = + Æ• n n n , Â • =1 1 n n 发散, 所以Â • =1 2 n u n 发散. ( C)是答案. 3. 设 函 数 ( ) ,0 1 2 f x = x £ x < , 而 Â • = = -• < < +• 1 ( ) sin , n n s x b n px x . 其 中 Ú = = 1 0 b 2 f (x )sin n xdx , (n 1, 2, L) n p , 则 ) 2 1 s (- 等于 (A) 2 1 - , (B) 4 1 - , (C) 4 1 , (D) 2 1 解. s x = Â b n x -• < x < +• n ( ) sin p , 是 ( ) ,0 1 2 f x = x £ x < 进行奇展拓后展成的富氏级 数. 所以 ) 2 1 s(- = 4 1 ) 2 1 ) ( 2 1 - s( = - f = - . (B)是答案. 4. 设Â • = - 1 ( 1 ) n n n a 条件收敛, 则 (A) Â • n=1 a n 收敛, (B) Â • n=1 a n 发散, (C) Â • = - + 1 1 ( ) n a n a n 收敛, (D) Â • =1 2 n a n 和Â • = + 1 2 1 n a n 都收敛. 解. 因为Â • = - 1 ( 1 ) n n n a 条件收敛, 所以lim = 0 Æ• n n a . 对于(C)
sn=∑(a-ak+)=a1-an 所以imsn=lim(a1-an)=a1(C)是答案 5.设级数∑un收敛,则必定收敛的级数为 (A)∑(-1)(B)∑v2(C)∑(u2n-2)①)∑(n+un-) 解∑un收敛,所以∑un收敛收敛级数的和收敛所以(D)是答案对于(C)有以下反 例∑1=2(-n,∑2n1=22=1,∑4=2-2n所以 2n-1 发散 6.若∑an(x-1)”在x=-2处收敛,则此级数在x=-1处 (Δ)条件收敛,(B)绝对收敛,(C)发散,(D)收敛性不确定 解.因为在x=-2收敛,所以收敛半径大于2.幂级数在收敛半径内的任何点都绝对收敛 (B)是答案 7.设幂级数∑ax"的收敛半径为3,则幂级数∑man(x-1)的必定收敛的区间为 (A)(-2,4) (B)[-2,4](C)(-3,3) 解(区u)-m=立m“n立“有相收数半径所以 x-1k3 2<x<4 在(-2,4)中级数一定收敛,在端点级数不一定收敛所以答案为(A 二.判断下列级数的敛散性: 解.因为lim n(n+2) 1,所以 sin和∑ 有相同的敛散性.又 i In(n+2)n nIn n nIn n
Â= = - + = - + n k n a k a k a a n s 1 1 1 1 ( ) 所以 1 1 1 lim s lim (a a ) a n n n n = - + = Æ• Æ• . (C)是答案. 5. 设级数 • n=1 u n 收敛, 则必定收敛的级数为 (A)  • = - 1 ( 1 ) n n nn u (B)  • =1 2 n un (C)  • = - - 1 2 1 2 ( ) n u n u n (D)  • = + - 1 1 ( ) n u n u n 解.  • n=1 u n 收敛, 所以 • = - 1 1 n u n 收敛. 收敛级数的和收敛. 所以(D)是答案. 对于(C)有以下反 例:   • = - • = = - 1 1 1 1 ( 1 ) n n n n n u ,   • = • = - - = 1 1 2 1 2 1 1 n n n n u ,   • = • = = - 1 1 2 2 1 n n n n u . 所以   • = • = - - = 1 1 2 1 2 1 ( ) n n n n n u u 发散. 6. 若 • = - 1 ( 1 ) n n n a x 在 x = - 2 处收敛, 则此级数在 x = - 1处 (A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定. 解. 因为在 x = - 2 收敛, 所以收敛半径大于 2. 幂级数在收敛半径内的任何点都绝对收敛. (B)是答案. 7. 设幂级数 • n=1 n n a x 的收敛半径为 3, 则幂级数 • = + - 1 1 ( 1 ) n n n na x 的必定收敛的区间为 (A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2) 解. ˜ = ¯ ˆ Á Ë Ê Â • = ' n 1 n n a x  • = - = 1 1 n n n na x  • = + 1 2 1 n n n x na x 和 • n=1 n n a x 有相同收敛半径. 所以 | x -1 | < 3 , - 2 < x < 4 在(－2, 4)中级数一定收敛, 在端点级数不一定收敛. 所以答案为(A). 二. 判断下列级数的敛散性: 1.  • = 1 + 1 sin ln( 2 ) 1 n n n 解. 因为 1 ln 1 1 sin ln( 2 ) 1 lim = + Æ• n n n n n , 所以 • = 1 + 1 sin ln( 2 ) 1 n n n 和 • =1 ln 1 n n n 有相同的敛散性. 又
因为 丁发散由积分判别法知∑ nIn n 发散.所以原级数发散 n i(a+n-la+na+n+l(a+ 0) 2.∑n1m 解.因为 lim la+n-D(a+n(a+n+ 1)=1,所以 m(a+n-1)(a+n)(a+n+1) 有相同的敛散性x收敛,所以原级数收敛 3 n ∑ 3-(n+1) slin(n+1)”1 >1,所以级数发散 n+1/n 解,lin「n2n+1/n=0<1.所以级数收敛 (n)2 (n+1/n) (n!)2 f(2n)! (n+1)!(n+1) (2n+2)! nIn <1,所以级数收敛 n→(2n+2)(2n+1)4 6 (2n-1)! m(2n+2)!! 解.拉阿伯判别法:设lmn(-1)=p,p>1收敛,p<1发散 (2n-1)! 1)=hm(2n+2) 1=lim 3n (2n+1)!! 2n+121,所以级数收敛 2n+4)!
因为Ú +• 2 ln 1 dx x x 发散, 由积分判别法知Â • =1 ln 1 n n n 发散. 所以原级数发散. 2. ( 0 ) ( 1 )( )( 1 ) 1 1 ¹ + - + + + Â • = a a n a n a n n 解. 因为 1 1 ( 1 )( )( 1 ) 1 lim 3 = + - + + + Æ• n a n a n a n n , 所 以 ( 0 ) ( 1 )( )( 1 ) 1 1 ¹ + - + + + Â • = a a n a n a n n 和 Â • =1 3 1 n n 有相同的敛散性. Â • =1 3 1 n n 收敛, 所以原级数收敛. 3. Â • =1 3 ! n n n n n 解. 1 3 3 ! ( 1 ) 3 ( 1 )! lim lim 1 1 1 = > + + = + + Æ• + Æ• e n n n n u u n n n n n n n n , 所以级数发散. 4. Â • = 1 + 2 ( 1 / ) n n n n n 解. 0 1 1/ ( ) lim ( 1/ ) lim 2 2 = < + = Æ• + Æ• n n n n n n n n n n n , 所以级数收敛. 5. Â • =1 2 (2 )! ( !) n n n 解. 1 4 1 (2 2 )(2 1 ) ( 1 ) lim (2 )! ! ! (2 2 )! ( 1 )!( 1 )! lim lim 2 1 = < + + + = + + + = Æ• Æ• + Æ• n n n n n n n n n u u n n n n n ， 所以级数收敛. 6. Â • = + - 1 (2 2 )!! (2 1 )!! n n n 解. 拉阿伯判别法: - = r + Æ• lim ( 1 ) n 1 n n u u 设 n , r > 1收敛，r < 1 发散 . 2 3 2 1 3 1 lim (2 4)!! (2 1)!! (2 2)!! (2 1)!! lim ( 1) lim 1 = + = ˜ ˜ ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Á Á Ë Ê - + + + - - = Æ• Æ• + Æ• n n n n n n n u u n n n n n n > 1, 所以级数收敛
+1+√n-1 解.lim-址=lim (n+1)! =lim =0<1,级数收 n→(n+1)( 敛 (2n2+hn+1 解.Iim =lim =一<1,级数收敛 n→ (2n2+lnn+1) In n ∑(1-=) In n (1-—) 解.考察极限lm y=l/n lim (+ yIn y)vy 令l (1+yIn y)y/y In y In y+I -In y-l In im In u=In lim u= In(1+ yIn y)-yIn y lim in y+1-Iny-vh2v-l-ylny=0 1+ yIn 所以lm=c"=1,即原极限为1.原级数和∑有相同的敛散性原级数发散 10 m=1(n+-) 解.1inn n→, n(+1=1≠0,级数发散 判断下列级数的敛散性 1.a-a2+a (a>0)
7. Â • = + - - 1 ( 1 1 ) ! 1 n n n n 解. 0 1 ( 1 )( 2 ) 1 1 lim ( 1 1 ) ! 1 ( 2 ) ( 1 )! 1 lim lim 1 = < + + + + + - = + - - + - + = Æ• Æ• + Æ• n n n n n n n n n n n u u n n n n n , 级数收 敛. 8. Â • = + - + + 1 2 1 2 1 (2 ln 1) n n n n n n 解. 1 2 1 1 ) ln (2 lim (2 ln 1 ) lim 2 1 2 2 2 1 2 1 = < + + = + + + - Æ• + - Æ• n n n n n n n n n n n n n , 级数收敛. 9. Â • = - 1 ) ln (1 n n n n 解. 考察极限 y y y y n n n n y y n n 1 0 (1 ln ) 1 lim 1 ) ln (1 lim + = - Æ + Æ• 令 令 y y y u 1 y (1 + ln ) = , y y y y y u ln(1 ln ) ln ln + - = 1 ln 1 1 ln ln 1 lim ln(1 ln ) ln lim ln ln lim lim 0 0 0 0 - - + + = + - = = Æ + Æ + Æ + Æ + y y y y y y y y y u u y y y y = 0 1 ln ln 1 ln ln 1 ln lim 2 0 = + + - - - - Æ + y y y y y y y y y 所以 lim 1 0 0 = = Æ + u e y , 即原极限为 1. 原级数和Â • =1 1 n n 有相同的敛散性. 原级数发散. 10. Â • = + + 1 1 ) 1 ( n n n n n n n 解. 1 0 ) 1 (1 lim ) 1 ( lim 2 1 1 = ¹ + × = + Æ• + Æ• n n n n n n n n n n n n n n n n , 级数发散. 三. 判断下列级数的敛散性 1. - + - 4 + L 1 3 1 2 1 a a a a (a > 0 )
解因为 lim u≠0,级数发散 (n+1)yn+1-1 n+1 x+1 解.Iim =0,令f(x)= →(n+1)√n+1 (x+1)y√x+1 (x+1) 当x>0时,f"(x)= <0,所以数列 单减.根 x+1)√x+1-2 n+1)n+ 据莱布尼兹判别法级数收敛 因为limn(n+1)Nn+1 =1,而∑产发散所以∑ 1 发散.原级数条 m(n+1)√n+1-1 件收敛 解.因为1 m3m+)=所以(m+)收效级数绝收效 4.∑(-1) 3.5·7…(2n+1) 2.5·8…(3n-1) 3·5…(2n+1)(2n+3) 解因为im=m2:5…(37-1)(3n+2)2-2n+3∠1 3.5…(2n+1) n+3n+ 5…(3n-1) 所以 3.5·7…(2n+1) 收敛,原级数绝对收敛 2·5·8…(3n-1) tan tan 解.lim 收敛,原级数绝对收敛 ∑si(m
解. 因为lim ¹ 0 Æ• n n u , 级数发散. 2.  • = + + - + - 1 ( 1 ) 1 1 1 ( 1 ) n n n n n 解. 0 ( 1 ) 1 1 1 lim = + + - + Æ• n n n n , 令 ( 1 ) 1 1 1 ( ) + + - + = x x x f x 当 x > 0 时, 0 [( 1) 1 1] 1 2 1 1 ( 1) ' ( ) 2 2 < + + - - + - + = x x x x f x , 所以数列 ˛ ˝ ¸ Ó Ì Ï + + - + ( 1) 1 1 1 n n n 单减. 根 据莱布尼兹判别法级数收敛. 因为 1 1 ( 1 ) 1 1 1 lim = + + - + Æ• n n n n n , 而 • =1 1 n n 发散, 所以 • = + + - + 1 ( 1 ) 1 1 1 n n n n 发散. 原级数条 件收敛. 3.  • = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + + - 1 3 1 2 1 ( 1) n n n n n 解. 因为 3 2 3 1 2 1 lim ˜ = ¯ ˆ Á Ë Ê + + Æ• n n n n n , 所以 • = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + + 1 3 1 2 1 n n n n 收敛, 原级数绝对收敛. 4.  • = × × - × × + - 1 2 5 8 (3 1 ) 3 5 7 (2 1 ) ( 1 ) n n n n L L 解. 因为 1 3 2 3 2 2 3 lim 2 5 (3 1 ) 3 5 (2 1 ) 2 5 (3 1 )(3 2 ) 3 5 (2 1 )(2 3 ) lim lim 1 = < + + = × - × + × - + × + + = Æ• Æ• + Æ• n n n n n n n n u u n n n n n L L L L 所以 • = × × - × × + 1 2 5 8 (3 1 ) 3 5 7 (2 1 ) n n n L L 收敛, 原级数绝对收敛. 5.  • = - - 1 1 1 ( 1 ) tan n n n n 解. nÆ• lim n n n n 1 1 tan =1,  • =1 1 n n n 收敛, 原级数绝对收敛. 6.  • = + 1 sin( ) n n n p p