矩阵理论-第七讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004 年 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1 矩阵理论-第七讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年
上节内容回顾 酉矩阵 n个列向量是一个标准正交基AA=1A=A1 酉相似下的标准形 Schu定理:任复数方阵均可酉相似于上三角矩阵 丑U∈Cm"U-=UhU-AU=UHAU=T 正规矩阵 AA=44 用西矩阵化正规矩阵为对角形 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲2
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-2 上节内容回顾 • 酉矩阵 – n个列向量是一个标准正交基 • 酉相似下的标准形 – Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵 • 正规矩阵 – 用酉矩阵化正规矩阵为对角形 1 H U AU U AU T − = = n n U C 1 H U U − = H 1 A A− = H A A I = H H A A AA =
Hermite矩阵的正定性 Hermite矩阵正定性的定义 设彐A∈Cm,且A=A,即A是 Hermite矩阵。如果对任意 0≠x∈Cn 都有 Ax>0C≥0 则称A是 Hermite正定矩阵(半正定矩阵) 定理 设A是 Hermite矩阵,则下列条件等价 A是 Hermite正定矩阵(半正定矩阵) 2.A的特征值全为正实数(非负实数); 彐P∈C,使得A=PP 证明:(1)→(2):由上一讲的推论1, Hermit矩阵的特征值均为实数 现证其为正。A是正规矩阵,彐U∈C,U=U·即存在酉矩阵U 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3 Hermite矩阵的正定性 • Hermite矩阵正定性的定义 设 ，且 ，即A是Hermite矩阵。如果对任意 都有 则称A是Hermite正定矩阵（半正定矩阵） • 定理 设A是Hermite矩阵，则下列条件等价 1. A是Hermite正定矩阵（半正定矩阵）； 2. A的特征值全为正实数（非负实数）； 3. ，使得 证明： (1) →(2)：由上一讲的推论1，Hermite矩阵的特征值均为实数 现证其为正。A是正规矩阵， ， 即存在酉矩阵U 0 ( 0) H x Ax n n U C 0 n x C H A A = n n A C n n P Cn H A P P = H 1 U U − =
Hermite矩阵的正定性 使得 U"AU=diag(1,2,…n) 上式右边同乘以列向量 n2 左边同乘以行向量y,可得 UHAUy=2n+n2m2 令x=Uy,若y≠0,则x≠0,由于A是 Hermite1定阵 x"Ax=yUHAUy=2n+n2/ +.A, m >0 假设≤0,取 y=(0…010 0)≠0 第个分量 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲4
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-4 Hermite矩阵的正定性 使得 上式右边同乘以列向量： 左边同乘以行向量 ，可得 令 ，若 ，则 ，由于A是Hermite正定阵 假设 ，取 1 2 diag( , , ) H U AU = n 1 2 n y = H y 2 2 2 1 1 2 2 H H n n y U AUy = + + x Uy = y 0 x 0 2 2 2 1 1 2 2 0 H H H n n x Ax y U AUy = = + + (0 0 1 0 0)T y = 0 0 i 第i个分量
Hermite矩阵的正定性 则x的第个分量亦不为零,但 x"4x=yU4y=m2=x≤0 与A是 Hermite正定矩阵矛盾,所以假设不成立。即A的特征值全为正 实数 (2)+(3):由 UAU=dag(λ1,2 可得 A=U diag(l, Udgy2…√2)dag√2…√y PP 令P=dag√2…√, 即证 (3)→(1):因为P∈C,所以对任意0≠x∈C",Px≠0由内积的 正定性xx=xPPx=(Px)"(Px)=(Px,Px)>0 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲5
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-5 Hermite矩阵的正定性 则x的第i个分量亦不为零，但 与A是Hermite正定矩阵矛盾，所以假设不成立。即A的特征值全为正 实数 (2) →(3)：由 可得： 令 即证 (3) →(1)：因为 ，所以对任意 ， 由内积的 正定性 2 0 H H H i i i x Ax y U AUy = = = 1 2 diag( , , ) H U AU = n 1 2 diag( , , ) H A U U = n 1 2 1 2 diag( )diag( ) H n n H U U P P = = 1 2 diag( ) H n n P U C n n = 0 i ( ) ( ) , 0 H H H H x Ax x P Px Px Px Px Px = = = 0 n x C n n P C Px 0