第五章常微分方程 求解下列微分方程 1.1+e) ldx+e 1 解 y dy J"=1(将y看成自变量) 所以 (u-1) du ue"-e dy u=u+e 1+e dyd(u+e“)dy u+e u+e 1a+ C 解.令=l,y=x dy du 2t-1 所以a+ 2-1 u +12+1 +1 In In t+1 n2+1=cx.由y(1)=-1,得() 所以 得到x+1=0,2 求解下列微分方程 1.V1+x'y'sin 2y=2xsin2y+e2vi+r2
第五章 常微分方程 一. 求解下列微分方程： 1. 1 1 = 0 ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + - ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê + dy y x e dx e y x y x 解. y x y x e y x e dy dx + ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê - = 1 1 . 令 u x yu y x = , = .(将 y 看成自变量) dy du u y dy dx = + , 所以 u u e e u dy du u y + - + = 1 ( 1 ) u u u u u e u e u e ue e dy du y + + - = - + - = 1 1 y dy du u e e u u = - + 1 + , y dy u e d u e u u = - + ( + ) , y y c u e u 1 ln = - ln = ln ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + c u e y u + = 1 , y u x e y x c u e c y + = + = , x ye c y x = ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê + . 2. Ô Ó Ô Ì Ï = - + - - - = (1) 1 2 2 ' 2 2 2 2 y y xy x y xy x y 解. 令 u y xu x y = , = . dx du u x dx dy = + , 所以 2 1 2 1 2 2 + - - - + = u u u u dx du u x 2 1 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 + - - - - - - = + - - - = u u u u u u u u u u dx du x x dx du u u u u u = - + + + + - 1 2 1 3 2 2 x dx du u u u ˜ = - ¯ ˆ Á Ë Ê + + + - 1 2 1 1 2 cx u u ln 1 1 ln 2 = + + , cx u u = + + 1 1 2 . 由 y (1 ) = -1 ,得 u (1 ) = -1 所以 c = 0. 0 1 1 2 = + + u u , 得到u + 1 = 0 , + 1 = 0 x y , 即 y = - x . 二. 求解下列微分方程： 1. 2 2 2 2 1 1 ' sin 2 2 sin x x y y x y e + + = +
解.令u=sin2y,则=ysin2y.得到 √1+x2=2x+c2小+2 为一阶线性方程 解得u=2m2(+lm|x+Ⅵ1+x2D.即sim2y_(c+hn|x+√1+x2D 2. (x-2xy-y )dy +y dx=0 解.原方程可化为 dx 1,为一阶线性方程0为自变量,x为因变量 解得:x=y2+cye 3. xy'ln xsin y+cos y(1-xcos y)=0 解.令cosy=u,则t=-y'siny.原方程化为 u'xInx +u(1-xu=0 为贝奴利方程 xIn x Inx u x In Inx 令z=-,则z 方程化为x+ xIn x In,为一阶线性方程 解得 (x+c)p_1 x+c cos y In x (x +c)cos y=In x 求解下列微分方程: 1.edx +(xe'-2y)dy=0 解.e'dx+xe'dy-2ydy=0 于是d(xe")-d2=0.所以方程解为xe-y2=c 2.x+ dx+1 =0 解.xdx+dy+ dx dy=0 设函数(x,y)满足dn(x,y) 所以 u(x,y) dx +o()=arcsin -+o(y) y
解. 令u sin y , u ' y ' sin 2 y 2 = 则 = . 得到 2 2 2 1 1 ' 2 x x u xu e + + = + , 2 2 1 2 1 1 2 ' 2 x e u x x u x + = + - + 为一阶线性方程 解得 ( ln | 1 |) 2 1 2 2 u e c x x x = + + + + . 即 sin ( ln | 1 |) 2 2 1 2 2 y e c x x x = + + + + . 2. ( 2 ) 0 2 2 x - xy - y dy + y dx = 解. 原方程可化为 2 2 1 y x y x dy dx = + - . 即 1 1 2 2 = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + - x dy y y dx , 为一阶线性方程(y 为自变量, x 为因变量). 解得: y x y cy e 1 2 2 = + . 3. xy' ln x sin y + cos y (1 - x cos y ) = 0 解. 令cos y = u , 则 u' = -y ' sin y . 原方程化为 - u ' x ln x + u (1 - xu ) = 0 x u x x u u ln ln ' 2 - + = , 为贝奴利方程. u x x u x u ln 1 1 ln ' 1 2 + × = - . 令 u z 1 = , 则 2 ' ' u u z - = . 方程化为 x z x x z ln 1 ln 1 '+ = , 为一阶线性方程. 解得 x x c z ln ( + ) = . 即 x x c cos y ln 1 + = , (x + c ) cos y = ln x . 三. 求解下列微分方程： 1. e dx + (xe - 2 y )dy = 0 y y 解. e dx + xe dy - 2ydy = 0 y y . 于是 ( ) 0 2 d xe - dy = y . 所以方程解为 xe y c y - = 2 . 2. 1 0 1 2 2 2 2 = ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê - + - ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê - + dy y y x x dx y x x 解. 0 1 2 2 2 2 = - - - + + dy y y x x dx y x xdx dy 设函数u (x , y ) 满足du(x , y ) = dy y y x x dx y x 2 2 2 2 1 - - - . 所以 2 2 1 x y x u - = ¶ ¶ , ( ) arcsin ( ) 1 ( , ) 2 2 y y x dx y y x u x y + j = + j - = Ú
所以 +q(y) 于是q'(y)=0,9(y)=c 所以原方程的解为x+y+ arcsin=c 2x)dx+ 2ydy=0 解.由原方程可得(x2+y2)dx+d(x2+y2)=0 得到a+4(x2+y2) 于是原方程解为x+ln(x2+y2)=c 四.求解下列微分方程 v(x 解.2yy(x-1) 令y2=l,得到(x-1)=u-x n=-x为一阶线性方程解得 n(x-1)+c 即y2=c(x-1)+x-(x-1)ln(x-1) 解.该方程为贝奴利方程 y u n+u=x3 5 --u=-5x2.解得l=x3(c+x2) 5 于是 =cx +-x 五.设y(x)在实轴上连续,v(0)存在,且具有性质v(x+y)=v(x)y(y),试求出v(x) 解.v(0+0)=v(0y(0),v(0)=y2(0),v(0)=0,v(0)=1 i)v(0)=0.对于任何x有v(x+△x)=v(x)y(△x) 所以(x)=lim(x+Ax)=v(x)limv(△x)=v(xy(0)=0
所以 2 2 2 2 2 ' ( ) 1 y y x x y y x y x y u - + = - - - = ¶ ¶ j . 于是j '( y) = 0 ,j ( y ) = c 所以原方程的解为 c y x x + y + arcsin = 2 1 2 3. ( 2 ) 2 0 2 2 x + y + x dx + ydy = 解. 由原方程可得 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 x + y dx + d x + y = 得到 0 ( ) 2 2 2 2 = + + + x y d x y dx . 于是原方程解为 x + ln( x + y ) = c 2 2 . 四. 求解下列微分方程: 1. 2 ( 1 ) ' 2 - - = y x y x y 解. yy x - = y - x 2 2 ' ( 1 ) 令 y = u 2 , 得到u' (x -1 ) = u - x 1 1 1 ' - = - - - x x u x u 为一阶线性方程. 解得 ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê - - + - = - x c x x u x ln( 1 ) 1 ( 1 ) . 即 ( 1 ) ( 1 )ln( 1 ) 2 y = c x - + x - x - x - 2. 3 6 xy'+ y = x y 解. 该方程为贝奴利方程. 6 5 3 xy y '+ y = y - - . 令 , 5 y = u - 5 ' ' 6 - y y = u - , 3 ' 5 u u x x - + = 2 5 5 ' u x x u - = - . 解得 ) 2 5 ( 5 - 2 u = x c + x 于是 5 5 3 2 5 y = cx + x - 五. 设y (x) 在实轴上连续, y'(0 ) 存在, 且具有性质y(x + y ) =y (x )y ( y ) , 试求出y (x). 解. y(0 + 0 ) =y (0 )y (0 ) , (0 ) (0 ) 2 y =y , y(0 ) = 0 , y(0 ) = 1 . i) y(0 ) = 0 . 对于任何 x 有y(x + Dx ) =y (x )y (Dx ) 所以 ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) (0 ) 0 0 0 Y = + D = D = = D Æ D Æ x y x x y x y x y x y x x
所以v(x)≡0 in)v(0)=1 y(x+Ar-y(x) y(xy(Ax)-v(x) y(x((Ax)-1 v(x(y(x-y(o 上式令Ax→0,得到 v(x)=y(x)y(0) 解得v(x)=eo)x 六.求解下列方程: I.ydx+(y-x)dy=0 y(0)=1 x 解.可得dy 这是以y为自变量的一阶线性方程 1)=0 解得x=y(c-ny) x(1)=0,c=0.所以得解x=-yln x(y+l)+sin(x+y)=0 2 xu+sin u=0 解令x+y=.可得x、z dx In -=In(csc u-cot u) csc u-cot t sin ll 丌 C l() 兀-cot 22丌 2 2 2x Sc(x+y)-cot(x+y 七.求解下列方程 (1+x2)y"+(y3)+1=0 解令y=则y”= 所以(1+x 中p d x P+1、 arctan p=-arctanx+c 所以P+x=tanc=c1,p+x=c1-crx,p(1+cx)=c1-x
所以 y(x) º 0 . ii) y(0 ) = 1 x x x x x x x x x x x x x x D - = D D - = D D - = D y ( + D ) - y ( ) y ( )y ( ) y( ) y( )(y ( ) 1) y ( )(y ( ) y (0)) 上式令Dx Æ 0 , 得到 Ó Ì Ï = = (0 ) 1 '( ) ( ) ' (0 ) y y x y x y 解得 x x e ' (0) ( ) y y = . 六. 求解下列方程: 1. Ó Ì Ï = + - = (0 ) 1 ( ) 0 y ydx y x dy 解. 可得 Ô Ó Ô Ì Ï = - = - (1 ) 0 1 x y x dy dx . 这是以 y 为自变量的一阶线性方程. 解得 x = y (c - ln y ). x(1 ) = 0 , c = 0 . 所以得解 x = - y ln y . 2. Ô Ó Ô Ì Ï = + + + = ) 0 2 ( ( ' 1) sin( ) 0 p y x y x y 解. 令 x + y = u . 可得 Ô Ó Ô Ì Ï = + = 2 ) 2 ( ' sin 0 p p u xu u u du x dx sin - = , ln ln(csc u cot u) x c = - , u u x c = csc - cot . 2 ) 2 (p p u = , 1 2 cot 2 csc 2 = - = p p p c , 2 p c = . 解为 csc( ) cot( ) 2 x y x y x = + - + p . 七. 求解下列方程: 1. (1 ) ' ' ( ' ) 1 0 2 2 + x y + y + = 解. 令 dx dp y' = p, 则y ' ' = . 所以 (1 ) 1 0 2 2 + + p + = dx dp x , 2 2 1 1 x dx p dp + = - + arctan p = - arctan x + c 所以 1 tan 1 c c px p x = = - + , p x c c px + = 1 - 1 , p + c x = c - x 1 1 (1 )
dyC,- +1 于是 dy C1c1(1+c1x) C+1 解为y=--x+-1 In 1 2.x+xy)-y=0 (2)=2,y(2) 解.令y=p,则 中p 中p 0 中pp 111 x p 令1=n,则M=-1中,2)=1 于是得到--l=-1,ln+-u=1为u对于x的一阶线性方程 解得 p2d=2x,y=2hmx+c,y(2)=2,解得c=2-2h2 所以y=2hx+2-2ln2=ln()2 2y2+(y)2=y y(0)=2,y(0)=1 解.令y=Pp,则 得到2 p=y 令p2=u,得到,+u=y为关于y的一阶线性方程.且u,=p2()=[y(0 解得u 所以1= y()-1+ce=2-1+ce-2,c=0 于是 1=±x+c y y(0)=2,得到=1,得解 -1=+x 2
于是 (1 ) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 c c x c c x c c x dx dy + + = - + + - = dx c c x c c dy ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + + = - + (1 ) 1 1 1 1 2 1 1 解为 2 1 2 1 2 1 1 ln | 1 | 1 1 c x c c c x c y + + + = - + . 2. Ó Ì Ï = = + - = (2) 2, ' (2) 1 ' ' ( ' ) ' 0 2 y y xy x y y 解. 令 dx dp y' = p, 则y ' ' = 0 2 + xp - p = dx dp x , 2 p x p dx dp - = - , 1 1 1 1 2 - = - dx x p dp p 令 (2 ) 1 1 ' 1 2 = = - u = dx dp p u u p ，则 ， 于是得到 1 1 - '- u = - x u , 1 1 '+ u = x u 为 u 对于 x 的一阶线性方程 解得 x c u = x + 2 1 , u(2 ) = 1 , 得 c = 0. u x 2 1 = x p 2 1 1 = , x dy dx 2 1 = , y = 2 ln x + c , y (2 ) = 2 ,解得 c = 2 - 2 ln 2 所以 ) 2 2 2 ln 2 2 ln 2 ln( 2 = + - = + x y x 3. Ó Ì Ï = = + = (0) 2, ' (0) 1 2 ' ' ( ' ) 2 y y y y y 解. 令 dy dp y' = p ，则 y ' ' = p 得到 p y dy dp p + = 2 2 令 p = u 2 , 得到 u y dy du + = 为关于 y 的一阶线性方程. 且 (0 ) [ ' (0 )] 1 | 0 2 2 = = = = p y x u 解得 y u y ce- = -1 + 所以 (0) 2 (0 ) 1 2 1 | 0 1 - - = - + = - + = = y ce ce x u y , c = 0 . 于是 u = y -1, p = ± y - 1 dx y dy = ± -1 , 1 2 y - 1 = ± x + c , 2 2 1 1 x c y - = ± + y(0 ) = 2 , 得到 1 2 1 = c , 得解 1 2 - 1 = ± + x y