例:求方程f(x)=x3-x-1=0在x=1.5附近的根x 解:(1)将方程改写为x=√x+1 由此建立迭代公式 k+1 k+1(=0,1,2…) k 0 7 1.51.357211.3086…1.324721.32472 迭代收敛。 2)若将方程改写为x=x3-1 建立迭代公式 k+1 k o k 1.52.37512.39 迭代不收敛
3 * 0 3 3 1 k ( ) 1 0 1.5 . 1 1 1 ( 0,1, 2 ) k 0 1 2 7 8 x 1.5 1.35721 1.33086 1.324 k k f x x x x x x x x x k + = − − = = = + = + = 例：求方程 在 附近的根 解：（ ） 将方程改写为 由此建立迭代公式 3 3 1 k 72 1.32472 2 1 1. k 0 1 2 x 1.5 2.375 12.39 k k x x x x + = − = − 迭代收敛。 （ ） 若将方程改写为 建立迭代公式 迭代不收敛
收敛充分性定理(一、1) 定理.设函数q(x)在区间a,b上满足条件 (1)对任意x∈[a,b,都有a≤p(x)≤b; (2)存在常数0<L<1,使得对一切x,y∈[a,b],都有 (x)-9(y)≤Lx-y 则方程x=q(x)在a,b内有唯一的根x,且对任何 初值x。∈[a,b]迭代序列 n+1 qp(xn)(n=0,1,) 均收敛于x,并有 X 1-L
* 1 * . ( ) [ , ] 1 [ , ] ( ) ; (2) 0 1, , [ , ], ( ) ( ) ( ) [ , ] , [ , ], ( ) ( 0,1, ) n n x a b x a b a x b L x y a b x y L x y x x a b x a b x x n x + − − = = = 0 定理 设函数 在区间 上满足条件 （ ）对任意 ，都有 存在常数 使得对一切 都有 则方程 在 内有唯一的根 且对任何 初值x 迭代序列 均收敛于 ，并有 * 1 0 x 1 n n L x x x L − − − 收敛充分性定理(一、1)
收敛充分性定理(-、2) 证:由条件(2)知9(x)在[a,b上连续 令y(x)=x-q(x),则v(x)在[a,b上连续,且 y(a)=a-(a)≤0,v(b)=b-q(b)≥0 故存在∈[a,b,使得v(5)=0,即ξ=(5), 所以方程x=q(x)在[a,b]有根。 假设方程x=q(x)在a,b内有两个根x≠ 由条件(2),有 x-x1=0(x)-9(x)≤一刘<-x 导出矛盾,唯一性得证
2 ( ) [ , ] ( ) ( ), ( ) [ , ] ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 [ , ] 0, ( ) [ , ] x a b x x x x a b a a a b b b a b x x a b = − = − = − = = = 证：由条件（ ）知 在 上连续。 令 则 在 上连续，且 故存在 ，使得 （ ） 即 （ ）, 所以方程 在 内有根。 * * 1 2 * * * * * * * * 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) [ , ] , 2 ( ) ( ) x x a b x x x x x x L x x x x = − = − − − 假设方程 在 内有两个根 由条件（ ），有 导出矛盾，唯一性得证。 收敛充分性定理(一、2)
收敛充分性定理(一、3) 对任意x∈[a,b]由迭代公式有 xnx=o(xn-D-()sL xX 依此类推,得 x"|≤n 因0<L<1,所以 n→>0 即对任意初值xo∈[a,b迭代序列{xn}均收 效到方程的根x 类似地,对任意正整数k,有 lxk+lxk=lo(xk)-(xk-sLIxk-xk-I <L
0 * * * 1 1 * * 0 * 0 * 1 1 1 1 [ , ], ( ) ( ) 0< 1, lim x [ , ], ( ) ( ) n n n n n n n n k k k k k k k x a b x x x x L x x x x L x x L x x a b x x k x x x x L x x L x − − → + − − − = − − − − = − = − − − 对任意 由迭代公式有 依此类推，得 因 所以 即对任意初值 迭代序列 均收 敛到方程的根 。 类似地，对任意正整数 ,有 x0 收敛充分性定理(一、3)
收敛充分性定理(一、4) 于是,对任意正整数n,p,有 ntp Xns ntp n+p- n+D-1 n+p-2 n+1 Inl L"nx:-xc+”1x1-x+…+L"x =L"(L"+L P2+…+1)x1X0 0 P→∞,得 xd≤ 1-L
1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 * 1 0 , , ( 1) 1 1 , 1 n p n n p n p n p n p n n n p n p n n p p p n n n n p L p L x L x x x x x x x x L L L x x x x x x L L L x x L L x x x x x + + + − + − + − + + − + − − − − − + − + + − − + − + + − = + + + − − = − − → − − − 于是，对任意正整数 有 令 得 收敛充分性定理(一、4)