第四章插值法 §1引言 问题的提出 在实际问题中常遇到这样的函数 y=f(x),其在某个区间[a,b]上 是存在的。但是,通过观察或测量或 试验只能得到在[a,b区间上有限个 离散点o,x1,∵,n上的函数值 yi =f( ) (i=0,1,,n)或者f(x)的函数表达 式是已知的,但却很复杂而 不便于计算,希望用一个简单的函数 来描述它
1 第四章 插 值 法 §1 引言 问题的提出 在实际问题中常遇到这样的函数 y f x = ( ) ,其在某个区间 a b, 上 是存在的。但是,通过观察或测量或 试验只能得到在 a b, 区间上有限个 离散点 , , , x x x 0 1 n 上的函数值 ( ), i i y f x = (i 0 1 n = , , , ) 或者 f x( ) 的函数表达 式是已知的,但却很复杂而 不便于计算,希望用一个简单的函数 来描述它
插值问题的数学提法:已知函数 y=f(x)在n+1个点x,x,…,x 上的函数值=f(x)=0,…,n), 求一个多项式y=(x,使 其满足P(x)=y,(=0,…,)。即 要求该多项式的函数曲线要 经过y=f(x)上已知的这m+1个点 (x,x,)…(xn),同时在其 它点x∈[a,上估计误差为 R(x)=f(x)-P(x)
2 插值问题的数学提法:已知函数 y f x = ( ) 在 n 1 + 个点 , , , x x x 0 1 n 上的函数值 y f x i 0 1 n i i = = ( ), , , , ( ) , 求一个多项式 y P x = ( ) ,使 其满足 ( ) P x y i i = , (i 0 1 n = , , , ) 。即 要求该多项式的函数曲线要 经过 y f x = ( ) 上已知的这 n 1 + 个点 ( x y x y x y 0 0 1 1 n n , , , , , , , ) ( ) ( ) 同时在其 它点 x a b , 上估计误差为 R x f x P x ( ) ( ) ( ) = − 。 Y f x( ) p x( )
yo yi y 当n=1时,求一次多项式P(x),要 求通过(x,n)x,y)两点 1 当n=2时,求二次多项式P(x),要求 通过(xn,1),(x,y,),(x2,y2)
3 当 n 1 = 时,求一次多项式 ( ) P x 1 ,要 求通过 ( x y x y 0 0 1 1 , , , ) ( ) 两点 当 n 2 = 时,求二次多项式 ( ) P x 2 ,要求 通过 ( x y x y x y 0 0 1 1 2 2 , , , , , ) ( ) ( ) 三 x 1 y 0 x 1 x 2 x n 1 x − n x 0 y 2 y n 1 y − n y … y x0 x 1 x 0 y y1 f x( ) 1 p x( )
点 P2(x) §2.拉格朗日插值公 式 2-1插值多项式的存在唯一性 过n+1个点 (x,y)i=0,2,…n,作多项式函 数 P(x)=a0+a1x+…+anx
4 点 §2.拉格朗日插值公 式 2-1 插值多项式的存在唯一性 过 n+1 个点 (xi , yi ) i = 0,1,2, ,n ，作多项式函 数 0 1 ( ) n P x a a x a x n n = + + + 0 y 2 y y x0 x 1 x 2 x 1 y f x( ) 2 p x( )
可构造(n+1)×(n+1)线性方程组 确定参数a1 ao+axo + x 0+1x1+…+anX1=y1; q0+1xmn+……+anOn=y 要证明插值多项式存在唯一,只要 证明参数c存在且唯 即只要证明其系数行列式不为零即 可
5 可构造（n+1）×(n+1)线性方程组 确定参数 ai + + + = + + + = + + + = ; ; ; 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 n n n n n n n n n a a x a x y a a x a x y a a x a x y 要证明插值多项式存在唯一，只要 证明参数 ai 存在且唯一， 即只要证明其系数行列式不为零即 可