第五章相似矩阵与二次型 对Ax=几x,同时左乘 于是有'Ax=x'(Ax)='九x=几x'x, 另外 XAx=XA'x =(Ax)'x =(Ax)'x =Axx 两式相减，得(2-2)'x=0. 但因为x≠0， 所以=2，x=x≠0，故(2-元列)=0， 即几=元，由此可得几是实数
第五章 相似矩阵与二次型 于是有 = ( ) Ax x = ( ) x x x x = 两式相减，得 ( ) 0. − = x x 但因为 x 0, 故( ) 0, − = 即 , = 由此可得是实数. 2 1 1 0, n n i i i i i x x x x x = = 所以 = = x Ax x Ax = ( ) = x x = x x , 另外 x Ax x A x = 对Ax x x = ,同时左乘
第五章相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义 由于对称矩阵A的特征值2为实数，所以齐次 线性方程组 (A-2E)K=0 是实系数方程组，由A-2,E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量
第五章 相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义 , ( ) 0 , 0 , . i i i A A E x A E − = − = 由 于对称矩 阵 的 特征值 为 实 数 所 以 齐 次 线 性方程组 是 实 系 数方程组 由 知 必 有 实 的 基础解 系 从而对应 的 特征 向 量可 以 取 实 向 量
第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的. 证明设P,P,是对称矩阵4的不同的两个特征值 2,2,的特征向量，即 Ap1=2P1,Ap2=22P2: 因A=A,故P1'=(P)'=(Ap)'=p1A'=p1'A, 于是P1P2=p1Ap2=p1(22P2)=2P1P2, 即(1-2p1'p2=0. 但2≠，故1'P2=0.即p1与p2正交
第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 , , , p p A 设 是对称矩阵 的不同的两个特征值 的特征向量 即 证明 1 1 1 2 2 2 Ap p Ap p = = , ， 因A A = , 1 1 1 1 1 p p Ap ( ) ( ) 故 = = 1 1 p A p A, = = 于是 1 1 2 1 2 1 2 2 p p p Ap p p ( ) = = 2 1 2 p p , = 1 2 1 2 即 ( ) 0. − = p p 1 2 但 , . 故p p 1 2 = 0. 即p1与p2正交 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的
第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.3设A为阶对称矩阵，2是A的特征方程的r 重根，则矩阵A-入E的秩为n-r,从而对应特征值元 恰有 个线性无关的特征向量
第五章 相似矩阵与二次型 , , 5.4.3 , . A n A r A E n r r − − 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则矩阵 的秩为 从而对应特征值 恰有 个线性无关的特 引 征向量 理
第五章相似矩阵与二次型 定理5.4.1设A为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 P-1AP=Λ， 其中△是以A的个特征值为对角元素的对角矩阵， 证明 设4的的互不相等的特征值为入，22，.，入， 它们的重数依次为r,2,.,(G+2+.+了=) 根据引理5.4.1（对称矩阵的特征值为实数）和引 理5.4.3（如上）可得：
第五章 相似矩阵与二次型 1 , , 5.4. , . 1 A n P P AP A n − = 设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值为对角元素的对 理 角矩阵 定 证明 1 2 , , , , 设A的的互不相等的特征值为 s 1 2 1 2 , , , ( ). s s 它们的重数依次为r r r r r r n + + + = 根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和引 理5.4.3( 如上)可得：