x-2.证明：x2 +y? ±0f(x,y20x2 +y2 = 0在点(0.0）处连续且偏导数存在，但不可微提示：利用2xy≤x2+2,知[ (x,y)]≤(x? + y2)lim f(x,y)=0 = f(O, O)x-0J-→0故f在（0,0）连续又因 f(x,0)= f(0,y)= 0, 所以fx(0,0)= f,(0,0) = 0O0000?机动目录上页下页返回结束
+ = + + = 0 , 0 , 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 提示: 利用 2 , 2 2 xy x + y 2 1 2 2 ( ) 4 1 f (x, y) x + y lim ( , ) 0 (0, 0) 0 0 f x y f y x = = → → 故f 在 (0,0) 连续; 又因 f (x,0) = f (0, y) = 0, (0,0) = (0,0) = 0 x y 所以 f f 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(Ax)(Ay)?而f(0,0) =[(Ax) + (Ay)2 j2当△x→0,△y→0时f(0,0)(Ax)?(Ay)?(Ax)? +(Ay)?[(Ax)? +(Ay)? ?(所以f在点(0,0)不可微！Oe000x机动自录上页下页返回结束
而 f (0,0) = 当x → 0，y → 0时, 2 2 (0,0) ( x) ( y) f + 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + = 0 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 2 3 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 已知f(x+, x-)=x2-2 +(x+y),且f(x,O)= x,求出,f(x,y)的表达式解法1 令u=x+y,V=-y,则x=(u+v),=(u-v): f(u,v) =I(u+v)?-(u-v)? +(u) =uv+(u)即f(x,y)=xy+p(x)I: f(x, 0) = x, .. p(x)= xf(x,y)= x(y+l)解法2 : f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y)+Φ(x+y)：f(x,y)=xy+(x）以下与解法1相同oeo0x机动目录上页下页返回结束
例1. 已知 求出 f (x, y) 的表达式. 解法1 令 f (u,v) 即 f (x, 0) = x, f (x, y) = x (y +1) 解法2 f (x + y, x − y) = (x + y)(x − y) + (x + y) 以下与解法1 相同. ( , ) ( ), 2 2 f x + y x − y = x − y + x + y f (x，0) = x, 则 (x) = x 且 v = x − y , ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 4 1 = u + v − u − v + u 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、多元函数微分法显示结构1.分析复合结构画变量关系图隐式结构自变量个数=变量总个数一方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性O000x机动自录上页下页返回结束
二、多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束