A .An 3.定义：称 .An2 为A的伴随矩阵， 注意①转置， ②符号) [注①上定理记为：4X可逆≠0，且1 A ②重要结论：A=AA；AA=AA=AE 4.推论：AnXnBnXnE→A,B可逆，且AI=B,B-l=A 证：ABAB=E=1A≠0，B≠0 由矩阵可逆充要条件，、B可逆， 由AB=E两边左乘A得：B=A1 两边右乘B得：A=B-I [注]证B是Anx,的逆阵，只要证一个等式：AB(或BA)=E
3.定义:称 为A的伴随矩阵. (注意①转置; ②符号) [注]①上定理记为:An×n可逆 A 0 ,且 1 1 A A A − = ②重要结论: AA A A A E = = 1 A A A ; − = 4.推论:An×nBn×n =E A,B可逆,且A－1=B, B－1 =A 证: AB A B E A B = = = 1 0, 0 由矩阵可逆充要条件,A、B可逆. 由AB＝E两边左乘A－1得： 两边右乘B－1得： [注]证B是An×n的逆阵,只要证一个等式:AB(或BA)=E B=A－1 A=B－1 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A =
例1阶方阵A满足A2一3A一10E=O,证明A、 解：由4-34-10E=0得：1-4E可逆并求其逆 A4-3E010E=>4043E)EEA0(43E 又由己知(A一4E)AHE)=6E →(M-4E)64+E)=E(A-4E)M+E) 例2(02考研)：设A ,B=A2-3A+2E,求B- -2 B= B=2,B* 2 -2-2
例2(02考研):设 1 1 2 3 A − = 1 0 2 1 1 − − 2 1 2 0 B − − = * 0 1 2, 2 2 B B = = − − ,B=A2－3A+2E，求B－1 例1 n阶方阵A满足A2－3A－10E=O，证明A、 A－4E可逆并求其逆. 解:由A2－3A－10E＝O得: − − = = − 1 1 1 ( 3 ) ( 3 ) 10 10 A A E E A A E − + = 1 ( 4 ) ( ) 6 A E A E E 又由已知 − = + −1 1 ( 4 ) ( ) 6 A E A E A(A－3E)=10E (A－4E)(A＋E)＝6E