第四节有界变差函数 定理5设∫是[a,b]上的单调增加 有限函数,那么f是[a,b]上的 Lebesgue可积函数,且 f(x)dx≤f(b)-f(a) La,b
定理5 设 f 是 上的单调增加 有限函数，那么 是 上的 Lebesgue可积函数，且 。 f ' [a,b] [a,b] − [ , ] '( ) ( ) ( ) a b f x dx f b f a 第四节 有界变差函数
第四节有界变差函数 证明:将∫扩充到[a,b+1上,对任意 x∈(a,b+1],令f(x)=f(b),并令 f(x+-)-f(x) 它是 Riemann可积函数,而且φn(x)≥0
证明：将 f 扩充到 上，对任意 ，令 ，并令 ， 它是Riemann可积函数，而且 。 [a,b +1] x(a,b +1] f (x) = f (b) n f x n f x x n 1 ) ( ) 1 ( ( ) + − = n (x) 0 第四节 有界变差函数
第四节有界变差函数 注意到 lim 9n(x dx=lim n[((x+-)-f(x)dx n→>00 n→>00 b + =lim n[ nf(x)dx n→ =f(b)-f(a+0) ≤f(b)-f(a<∞
注意到 = + − → → [ , ] [ , ] ) ( )) ] 1 lim ( ) lim [ ( ( a b n a b n n f x dx n x dx n f x = f (b) − f (a + 0) + → = n a n a n f x dx 1 lim [ ( ) ] f (b) − f (a) , 第四节 有界变差函数