第四节有界变差函数 由于lmSn(b)=f(b),对任意自然数k, 可取n,使得 f(b)-S(b)< 但f(x)-Sn(x)也是单调增加函数,且 f(a)=Sn(a)=O,所以, 0∑(x)-()5刚团1 k=1 k=1
由于 ，对任意自然数 k， 可取 ，使得 ， 但 也是单调增加函数，且 ，所以, lim S (b) f (b) n n = → nk n k f b S b k 2 1 ( ) − ( ) f (x) S (x) nk − f (a) = S (a) = 0 nk 1. 2 1 0 { ( ) ( )} { ( ) ( )} 1 1 1 = = = − − = k k k n k n f x S x f b S b k k 第四节 有界变差函数
第四节有界变差函数 这说明∑{(x)-S(x)}也是由单调 增加函数列f(x)-Sn(x)构成的收敛 级数,将上面关于∑f(x)的结论用 到∑f(x)-S2(x)上,得 k=1 ∑{/(x)-S"(x)}<ae k=1
这说明 也是由单调 增加函数列 构成的收敛 级数，将上面关于 的结论用 到 上，得 = − 1 { ( ) ( )} k n f x S x k f (x) S (x) nk − =1 ( ) k n f x = − 1 { ( ) ( )} k n f x S x k { '( ) ' ( )} . . 1 f x S x a e k nk − = 第四节 有界变差函数
第四节有界变差函数 进而,级数的通项趋于0,即 lm(f(x)Smn (x)=0a.e, k 也 ∑fn(x)=f(x)aea,b 1=」 证毕
进而，级数的通项趋于0，即 ， 也即 。 证毕。 lim ( f '(x) S' (x)) 0 a.e. k n k − = → ' ( ) '( ) . .[ , ] 1 f x f x a e a b n n = = 第四节 有界变差函数
第四节有界变差函数 推论2若是[a,b上跳跃函数,则 =0 a.e.o 证明:设=0-02,0,2是[an,b]上的 单调增加函数,注意对任意xn∈(an,b), 6(rxn=0a.e, 01(x-xn=0a.e, 由推论1立得证明
证明：设 是 上的 单调增加函数，注意对任意 ， ， 由推论1立得证明。 推论2 若 是 上跳跃函数，则 。 ' = 0 a.e. 1 2 1 2 = − , , x (a,b) n '( ) 0 . ., ' ( ) 0 . . 1 x x a e x x a e − n = − n = [a,b] [a,b] 第四节 有界变差函数
第四节有界变差函数 二.单调函数导数的可积性 问题3:从跳跃函数的导数几乎处处 为零可以看出,单调函数的导数未 必满足 Newton- Leibniz公式,考虑 更弱的问题:单调函数的导数是否 R可积?是否L可积?其导函数的 积分与该函数有没有什么关系?
第四节 有界变差函数 二．单调函数导数的可积性 问题3：从跳跃函数的导数几乎处处 为零可以看出，单调函数的导数未 必满足Newton-Leibniz公式，考虑 更弱的问题：单调函数的导数是否 R-可积？是否L-可积？其导函数的 积分与该函数有没有什么关系？