《实变函数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 可测函数（4.2）可测函数的收敛性

实变函数 第四章可测函数 第二节可测函数的收敛性

第二节 可测函数的收敛性 第四章 可测函数

1函数列的几种收敛定义 (点点收敛:记作→于E x∈E,VE>03N>0Vn≥N3有|f1(x)-f(x)k 2)一致收敛 VE>0.N>0,Vn≥N2,x∈E,有|f(x)-f(x)k 注:近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 f(x=xn 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制

⒈函数列的几种收敛定义   x E,  0,N x  0,n  N x ,有| f n (x) − f (x)| ⑵一致收敛:     0,N  0,n  N ,x E,有| f n (x) − f (x)| 注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fn (x)=xn ⑴点点收敛: 记作 f n → f于E

例:函数列 f(x=xn 0.6 fn(x)=xn,n=1,2, 在(0,1)上处处收敛到 0.4 fx)=0但不一致收敛, 但去掉一小测度集合 l.2 1-6,1),在留下的集合 上一致收敛 0.4 0.6

1 - δ 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.81 例：函数列 fn (x)=xn , n=1,2,… 在(0,1)上处处收敛 到 f(x)=0, 但不一致收敛 ， 但去掉一小测度集合 (1 -δ,1),在留下的集合 上一致收敛 fn (x)=xn

(3几乎处处收敛:记作1→>f4e于E( almost everywhere) E =0 即:去掉某个零测度集,在留下的集合上处处 (几乎一致收敛记作→>faM于E( almost uniform小y 即:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上 V8>0,3可测子集ecE,me< 使得在E。=E-e上一致收敛于f V>0,彐可测子集eCE,me<o, VE>0,3N2。>0,Vn≥Na,Mx∈E-e,有fn(x)-f(x)k<E

⑶几乎处处收敛: 记作 f n → f a.e.于E (almost everywhere） f E E e f e E me 使得 n 在 上一致收敛于 可测子集 = −        0, ,  ,                − −       0, 0, , , | ( ) ( )| 0, , , N n N x E e f x f x e E me 有 n 可测子集 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ⑷几乎一致收敛:记作 f n → f a.u.于E (almost uniformly) [ f → f ] = 0 n E

(5)依测度收敛:记作→E Va>0有 im mEu-fi2o 0 n→>00 VG>0VE>0.3N>0.Vm2≥Nm,有nb<E 注:从定义可看出, 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛(除一零 测度集外) ●依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛,其要 点在于误差超过o的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零,而不论点集的位置状态如何

⑸依测度收敛: 记作 注：从定义可看出， ⚫ 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零 测度集外） ⚫ 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要 点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零，而不论点集的位置状态如何 f n  f于E   0, lim [| − | ] = 0 →  f f  n n 有 m E [| | ] 0, 0, 0, , n             N n N E    有 f f −  m